arctanx/x^2在一到无穷上的反常积分为π/4 + (1/2)ln(2)。
解答过程如下：
∫(1→+∞) (arctanx)/x² dx
= ∫(1→+∞) arctanx d(- 1/x)
= (- arctanx)/x |(1→+∞) + ∫(1→+∞) 1/x d(arctanx)
= - (- π/4) + ∫(1→+∞) 1/[x(1 + x²)] dx
= π/4 + ∫(1→+∞) [(1 + x²) - x²]/[x(1 + x²)] dx
= π/4 + ∫(1→+∞) [1/x - x/(1 + x²)] dx
= π/4 + [ln(x) - (1/2)ln(1 + x²)] |(1→+∞)
= π/4 + ln[x/√(1 + x²)] |(1→+∞)
= π/4 + ln[1/√(1 + 1/x²)] |(1→+∞)
= π/4 + ln[1/√(1 + 0)] - ln[1/√(1 + 1)]
= π/4 + (1/2)ln(2)
扩展资料：
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
求积分的方法：
第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
