关于e=u'Ru 为什么在u为R的特征向量时取极值的问题

Question

感谢你上次帮助！不过关于这个问题我还有些疑惑：
f(u)=u'Ru，在u为R的特征值时，f导数=0已经理解。
但是判断是极大值还是极小值我有遇到麻烦：
你所说的条件是满足的，R是随机向量x的协方差矩阵，u是一个单位向量。
设du是给u一个方向上的很小扰动，(u+du)'(u+du) = 1，看f的改变量df的符号
u'u + 2du'u + du'du = 1
所以2du'u = -du'du
f(u+du)=(u+du)'R(u+du)=u'Ru + 2du'Ru + du'Rdu
df = 2du'Ru + du'Rdu
因为u是R的特征向量，所以Ru = au
df = a2du'u + du'Rdu = -adu'du + du'Rdu
du'du > 0
du'Rdu 是x在du'上投影的方差，也是大于0的
这个看出来特征值a小于0时取极小值，但是如果a大于0，是极大值还是极小值呢？
谢谢！

Answer 1

我不知道你是怎么得出”du'Rdu 是x在du'上投影的方差，也是大于0的“？对概率不太清楚。
从数学的角度看，df=-adu'du+du'Rdu，只能得到两个极值点：若a是R的最小特征值，则必有df=du'(R-aE)du>=0，因此是极小值；若a是R的最大特征值，则df<=0，是极大值。若a是不是最小和最大特征值，则df可取正取负，因此不是极值点。来自：求助得到的回答

Answer 2

f(u)=u'Ru，在u为R的特征值时，f导数=0已经理解。
但是判断是极大值还是极小值我有遇到麻烦：
你所说的条件是满足的，R是随机向量x的协方差矩阵，u是一个单位向量。
设du是给u一个方向上的很小扰动，(u+du)'(u+du) = 1，看f的改变量df的符号
u'u + 2du'u + du'du = 1
所以2du'u = -du'du
f(u+du)=(u+du)'R(u+du)=u'Ru + 2du'Ru + du'Rdu
df = 2du'Ru + du'Rdu
因为u是R的特征向量，所以Ru = au
df = a2du'u + du'Rdu = -adu'du + du'Rdu
du'du > 0
du'Rdu 是x在du'上投影的方差，也是大于0的
这个看出来特征值a小于0时取极小值，但是如果a大于0，是极大值还是极小值呢？
谢谢！