线性规划

Question

一、如果直线y=kx+1与圆x的平方+y的平方+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称,则不等式组①kx-y+1大于0②kx-my小于0③y大于0表示平面区域的面积是（ ）。
A.1/4
B.1/2
C.1
D.2

Answer 1

应该选A……

因为直线y=kx+1上有M、N两点关于直线x+y=0对称，就是两线垂直。
根据垂直两线斜率相乘等于-1得，k=1。
M、N两点关于直线x+y=0对称有个性质，可设M(p,q)、N(-q,-p)。
代入k=1，联立直线y=x+1与圆x^2+y^2+x+my-4=0方程得：
2x^2+(3+m)x-3+m=0，解得x=[-3-m±根号(m^2-2m+33)]/4,y=x+1。
所以p=[-3-m+根号(m^2-2m+33)]/4,q=[-3-m+根号(m^2-2m+33)]/4+1；
-q=[-3-m-根号(m^2-2m+33)]/4,-p=[-3-m-根号(m^2-2m+33)]/4+1。
再把p与-p（或q与-q联立也行，这里前者）：
得[-3-m+根号(m^2-2m+33)]/4=-[-3-m-根号(m^2-2m+33)]/4+1，根号抵消，
得6+2m=4，即m=-1。
所以不等式组为①x-y+1>0②x+y<0③y>0，
这里要画图较直观，是一个三角形，我以x为底边，
①②式y=0后，-1<x<0，底边长1。
联立①②式（改为等式），得x=-1/2,y=1/2,
即交点在（-1/2,1/2），也即三角形高为1/2。
所以则不等式组表示平面区域的面积S=底乘高除二=1/4。
故选A。