已知函数y==f(fx)的定义域为R,对任意X,Y属于R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x>0都有f(x)<0, f(3)=-3

Question

2. 判断y=f(x)的奇偶数性,并证明
3. 解不等式: f(x+3)+f(4x)小于等于2

Answer 1

1）设x>y 则x-y>0,f(x-y)<0
所以f(x)=f(y+(x-y))=f(y)+f(x-y)<f(y);
所以为减函数；
2）f(0)+f(0)=f(0)
所以f(0)=0;
f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以是奇函数；
3）f(x+3)+f(4x)=f(5x+3)<=2;由于单调性，只要找到取到2的x就行了；
-3=f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1);
f(1)=-1;
f(2)=f(1)+f(1)=-2;
f(-2)=-f(2)=2 (奇函数)；
注意到是减函数，所以只要5x+3>=-2就可以了
解得x>=-1