概率论，用反常积分求E(x)

Question

如题，这是以前做过的错题。当用到反常积分求解的时候就不会了，帮忙看一下怎么做，谢谢

Answer 1

详细过程是，按照期望值的定义，E(X)=∫(-∞,∞)xf(x)dx=(1/2)∫(-∞,∞)x丨x-μ丨e^(-丨x-μ丨)dx。
令x-μ=t。∴x=t+μ，dx=dt。
∴E(X)=(1/2)∫(-∞,∞)(t+μ)丨t丨e^(-丨t丨)dt=(μ/2)∫(-∞,∞)丨t丨e^(-丨t丨)dt+(1/2)∫(-∞,∞)t丨t丨e^(-丨t丨)dt。
而，被积函数丨t丨e^(-丨t丨)是偶函数，t丨t丨e^(-丨t丨)是奇函数，视“t∈(-∞,∞)”为对称区间，按照定积分的性质，∫(-∞,∞)丨t丨e^(-丨t丨)dt=2∫(0,∞)te^(-t)dt；∫(-∞,∞)t丨t丨e^(-丨t丨)dt=0。
∴E(X)=μ∫(0,∞)te^(-t)dt。应用分部积分法，可得∫(0,∞)te^(-t)dt=1，∴E(X)=μ。
供参考。追问

明白了，谢谢

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