高分悬赏一道数学建模题的答案

Question

内容如下：
注意： 答卷以论文方式提交，书写格式参照正式发表的论文，包括论文名、作者姓名、中文摘要、内容（问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型验证等方面）、参考文献（如果是引用互联网上的文章也要注明网址）和附录（例如计算过程中编写的程序）；

洁具流水时间设计

我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。
某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。
方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。
方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。
该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表：

时间（秒） 12 13 14 15 16 17 18
人次 1 5 12 60 13 6 3

（1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；
（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。
后天就交了 谢谢各位大哥大姐 救命啊~！！~！！~~！

Answer 1

我只能帮你找一些资料,希望对你有帮助.

治理污染的数学模型

随着市场经济和现在工业的飞速发展，人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决,通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染变化的结果，
问题（一）湖水污染浓度为5.1178%;
问题（二）下降到原来的5%所需时间为398.3120天。在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

一、问题重述

设一容积为V（m3）的大湖受到某种物质的污染，污染物均匀地分布在湖中，没湖水更新的速率为r(m3/天)，并假设湖水的体积没有变化，试建立湖水污染浓度的数学模型。
美国安大略湖容积5941*109(m2)，湖水的流量为4.45365*1010(m3/天)。湖水现阶段的污染浓度为104，外面进入湖中的水的污染浓度为5%，并假设该值没有变化，求经过500天湖水污染浓度。
美国密西根湖的容积为4871*109（m2）。湖水的流量为3.6635132*1010(m3/天)
由于治理污染措施得力及某时刻起污染源被切断，求污染被中止后，污染物浓度下降到原来的5%所需时间。

二、模型假设
1、，湖水流量为常量，湖水体积为常量；
2、流入流出湖水水污染浓度为常量，
三、符号说明
W（t）: t 时刻水污染浓度
t: 时间，以天作单位
m: 外进湖中水污染浓度
r: 湖水的更新速率
V: 湖水的体积
四、问题分析
问题（一）要求经过500天湖水的浓度，由于流入和流出的湖水浓度不同，我们在考虑此问题时，运用微积分方程和质量守恒定律得出水污染浓度与已知量之间的关系；问题（二）污染源被切断的情况，即湖水的污染浓度不再改变，即m=0，由于问题（二）给出污染物浓度下降到原来的5%，从而可以求得所需的时间。

五、模型的建立与求解
设t时刻湖区的污染物浓度为W（t），考虑时间区间[t，t +⊿t]并利用质量守恒定律：
[t，t +⊿t]内湖中污染浓度的变化量=流入湖水的污染量—流出湖水的污染量。
用数学表达式表示为：
V[w(t+⊿t )—w（t）]=rm*⊿t—

于是得，令⊿t→0
dw/dt=a-bx t>0,w(0)=wo
其中a=rm/v,b=r/v
求得w(t)=m+(wo-m)e^(-r*t/v)……（1）
问题（一）中v=5.941e12(m3)
r=4.45365e10, wo=10%, m=5%,t=500代入式中，得：
w(500)=5.1178%
在问题（二）中，m=0,从而rm*⊿t=0,其中v=4.871e12,r=3.6635132e10,w(t)=5%*wo
代入表示式（1）中，得：t=398.3(天)。

附录：
用MATLAB解问题（一）过程如下：
r=4.45365e10;v=5.941e12;wo=10;m=5;t=500;
w=m+(wo-m).*exp(-r.*t/v)
结果：
w =5.1178
问题（二）
r=3.6635132e10;v=4.871e12;m=0;w=0.05wo;
w=m-(wo-m)*exp(-r*t/v)
a=log(w);y=a.*(-v)/r
结果：
y = 398.3120

参考资料：http://mcm.csu.edu.cn/Forums/898/ShowPost.aspx

Answer 2

谢谢,你的计算.非常感谢!!!!!