对坐标的曲面积分计算时上下侧怎么看啊？

Question

和曲面法向量有什么关系啊？
看书看得不太明白
谢谢 tempusertemp
如果题目没有给出曲面法向，怎么判断呢？
看到的一道题：
曲面为 x^2+y^2+z^2=a^2的z<0半球面,求一曲面积分
答案为补充x^2+y^2=a^2 z=0的平面
这圆的上下侧怎么判断呢
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哦，那题答案是用高斯公式做的。
补充的z=0平面也说法向量与z轴正向相反。
不过那样平面法向量不是指向半球内部了，并没有指向区域外呀
是不是围成区域的法向量全部朝内也可以？

Answer 1

实际的意义是：这三个面的法向量分别是三个轴的正向。如果曲面的外法向和对应坐标轴的正向一致，则第二类曲面积分转为重积分时取正号，否则负号。

由积分微元dxdy可知需要考察的是与z轴正向的关系（同理，∫∫dydz则考虑与x轴正向的关系），题中指明曲面是下侧，其法向如图中向下箭头所示，显然与z的正方向相反，于是结果取负号。

第一型曲面积分物理意义：

来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。

Answer 2

一个记忆方法：
设想你面前有个正方体。你看到的上面，前面，右面是正。
其余为负。
实际的意义是：这三个面的法向量分别是三个轴的正向。
实际应用的时候你就将要判断的曲面法向，来跟这三个面的法向量比较。如果方向顺着某一个面的法向，那么为正侧。否则为负。
判断上下侧的话，不要管这个曲面在哪。首先看题目给的曲面的法向是哪里。比方说题目给的是向下。
而你知道记忆中的正方体上面是正。而上面的法向是冲上的。
因此曲面为下侧。
你补充的那个题目。。。。没有指明曲面法向吗？通常都是说曲面法向指向Z轴正方向&rd

Answer 3

问老师吧 这个不好说

Answer 4

一个记忆方法：
设想你面前有个正方体。你看到的上面，前面，右面是“正”。
其余为负。

实际的意义是：这三个面的法向量分别是三个轴的正向。
实际应用的时候你就将要判断的曲面法向，来跟这三个面的法向量比较。如果方向顺着某一个面的法向，那么为正侧。否则为负。
不过要注意的是，与曲面的具体位置无关。就是说这个记忆方法只是帮助记忆哪些方向是正向，而不是让你记住具体位置是什么。

判断上下侧的话，不要管这个曲面在哪。首先看题目给的曲面的法向是哪里。比方说题目给的是向下。 而你知道记忆中的正方体上面是正。而上面的法向是冲上的。 因此曲面为下侧。

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你补充的那个题目。。。。没有指明曲面法向吗？通常都是说“曲面法向指向Z轴正方向”之类的。
如果没有说，一般认为曲面的法向都是指向“外面”的。比如说球面的话，法向冲球外。

你的题如果没有其他提示的话，我们可以认为半球的法向指向球外（把半球补充成整个球体的外面），这样法向应该是向“上”。而我们知道正方体的上面是“正”。两者方向一致。因此为正号。

补充z=0的平面的话，你要说补充平面的法向朝下。让整个围成的区域的法向量都朝“外”。这是为了进一步用高斯公式。而不是拆分成曲面用曲面侧来做。

你这题用高斯公式做简单些本回答被提问者和网友采纳