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¶ä»ç¹ä¸ç¨è¿ç¹å®å½æ°çå¼ä½ä¸ºå½æ°f (x)çè¿ä¼¼å¼ï¼è¿ç§æ¹æ³ç§°ä¸ºæå¼æ³ãå¦æè¿ç¹å®å½æ°æ¯å¤é¡¹å¼ï¼å°±ç§°å®ä¸ºæå¼å¤é¡¹å¼ã
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ããLagrangeæå¼æ¯n次å¤é¡¹å¼æå¼ï¼å
¶æåå°ç¨æé æå¼åºå½æ°ç æ¹æ³è§£å³äºæ±n次å¤é¡¹å¼æå¼å½æ°é®é¢ï¼
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åºæ¬ææ³ãå°å¾
æ±çn次å¤é¡¹å¼æå¼å½æ°pn(xï¼æ¹åæå¦ä¸ç§è¡¨ç¤ºæ¹å¼ï¼åå© ç¨æå¼æ¡ä»¶â´ç¡®å®å
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ããHermiteæå¼æ¯å©ç¨æªç¥å½æ°f(xï¼å¨æå¼èç¹ä¸çå½æ°å¼å导æ°å¼æ¥æé æå¼å¤é¡¹å¼çï¼å
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ããH'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2ï¼â¦â¦ï¼n â
ããå¦ä¸æ±åºçH2n+1(xï¼ç§°ä¸º2n+1次Hermiteæå¼å½æ°ï¼å®ä¸è¢«æå½æ°
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ããæå¼å¤é¡¹å¼ä½é¡¹å
¬å¼è¯´ææå¼èç¹è¶å¤ï¼è¯¯å·®è¶å°ï¼å½æ°éè¿è¶å¥½ï¼ä½åæ¥äººä»¬åç°ï¼äºå®å¹¶éå¦æ¤ï¼ä¾å¦ï¼å被æå½æ°ï¼å¨[-5ï¼5]ä¸çn+1个çè·èç¹ï¼è®¡ç®åºf(xkï¼åå¾å°Lagrangeæå¼å¤é¡¹å¼Ln(xï¼ï¼èè[-5,5]ä¸çä¸ç¹x=5-5/nï¼åå«ån=2,6,10,14,18计ç®f(x),Ln(xï¼å对åºç误差Rn(xï¼ï¼å¾ä¸è¡¨
ããä»è¡¨ä¸å¯ç¥ï¼éèç¹ä¸ªæ°nçå¢å ï¼è¯¯å·®lRn(x)lä¸ä½æ²¡åå°ï¼åèä¸æçå¢å¤§.è¿ä¸ªä¾åææ©æ¯ç±Rungeç 究ï¼åæ¥äººä»¬æè¿ç§èç¹å å¯ä½è¯¯å·®å¢å¤§çç°è±¡ç§°ä¸ºRungeç°è±¡.åºç°Rungeç°è±¡çåå 主è¦æ¯å½èç¹nè¾å¤§æ¶ï¼å¯¹åº
ããçæ¯é«æ¬¡æå¼å¤é¡¹å¼ï¼æ¤å·®å¾ç§¯ç´¯"淹没"äºå¢å èç¹åå°ç精度.Rungeç°è±¡å¦å®äºç¨é«æ¬¡æå¼å
¬å¼æé«é¼è¿ç²¾åº¦çæ³æ³ï¼æ¬èçå段æå¼å°±æ¯å
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¥çä¸ç§æå¼æ¹æ³.
ããå段å¤é¡¹å¼æå¼çå®ä¹ä¸º
ããå®ä¹2: a=x0<x1<â¦<xn=b: å[a,b]ä¸n+1个èç¹ å¹¶ç»å®å¨è¿äºèç¹ ä¸çå½æ°å¼f(xR)=yR R=0,1ï¼â¦ï¼n
ããå¦æå½æ°Î¦ï¼xï¼æ»¡è¶³æ¡ä»¶
ããi) Φï¼xï¼å¨[a,b]ä¸è¿ç»
ããii) Φï¼xr)=yR,R =0,1ï¼â¦ï¼n
ããiii) Φï¼x)zai æ¯ä¸ªå°åºé´[xR,xR+1]æ¯m次å¤é¡¹å¼ï¼
ããR=0,1ï¼â¦ï¼n-1å称Φï¼xï¼ä¸ºf(xï¼å¨[a,b]ä¸çå段m次æå¼å¤é¡¹å¼
ããå®ç¨ä¸ï¼å¸¸ç¨æ¬¡æ°ä¸è¶
è¿5çåºæ¬¡å段æå¼å¤é¡¹å¼ï¼æ¬èåªä»ç»å段线æ§æå¼åå段ä¸æ¬¡Hermiteæå¼ï¼å
¶ä¸å段ä¸æ¬¡Hermiteæå¼è¿é¢å¤è¦æ±å段æå¼å½æ°Î¦ï¼x)
ããå¨èç¹ä¸ä¸è¢«æå¼å½æ°f(xï¼æç¸åç导æ°å¼ï¼å³
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åºæ¬ææ³ãå°è¢«æå¼å½æ°fãxãçæå¼èç¹ ç±å°å°å¤§ æåºï¼ç¶åæ¯å¯¹ç¸é»ç两个èç¹ä¸ºç«¯ç¹çåºé´ä¸ç¨m 次å¤é¡¹å¼å»è¿ä¼¼fãxã.
ããä¾é¢
ããä¾1 å·²ç¥fï¼xï¼=lnï¼xï¼çå½æ°è¡¨ä¸ºï¼
ããè¯ç¨çº¿æ§æå¼åæç©çº¿æå¼åå«è®¡ç®fï¼3.27ï¼çè¿ä¼¼å¼å¹¶ä¼°è®¡ç¸åºç误差ã
ãã解ï¼çº¿æ§æå¼éè¦ä¸¤ä¸ªèç¹ï¼å
ææ¯å¤æ好å 为3.27 ï¼3.2ï¼3.3ï¼ï¼æ
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¬å¼ï¼æ
ããæ以æï¼ä¸ºä¿è¯å
æ对æç©çº¿æå¼ï¼éåä¸ä¸ªèç¹ä¸ºx0=3.2,x1=3.3,x2=3.4ï¼ç±n=2çlagrangeæå¼å
¬å¼æ
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æ
ããæ以线æ§æå¼è®¡ç®ln3.27ç误差估计为
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æç©çº¿æå¼è®¡ç®ln3.27ç误差估计为ï¼
ããæ¾ç¶æç©çº¿æå¼æ¯çº¿æ§æå¼ç²¾ç¡®ï¼
ãã5ãæ ·æ¡æå¼ï¼
ããæ ·æ¡æå¼æ¯ä¸ç§æ¹è¿çå段æå¼ã
ããå®ä¹ è¥å½æ°å¨åºé´ãaï¼bãä¸ç»å®èç¹a=x0<x1<ï¼â¦<xn=båå
¶å½æ°å¼yjï¼è¥å½æ°Sï¼xï¼æ»¡è¶³
ããâ Sï¼xjï¼=yjï¼j=0,1,2ï¼â¦ï¼nï¼
ããæå¼æ³ä¸»è¦ç¨äºé路桥æ¢ï¼æºæ¢°è®¾è®¡ï¼çµåä¿¡æ¯å·¥ç¨ç å¾å¤å·¥ç§é¢åçä¼åæ¹æ³ã
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