设抛物线C1：y²=2px（p＞0），圆C2：（x+p/4）²+y²=p²/32，点M（0，p/2）

Question

设抛物线C1：y²=2px（p＞0），圆C2：（x+p/4）²+y²=p²/32，点M（0，p/2）
（I）过点M的直线l与C1，C2是否同时有两个公共点？请说明理由。
（II）过点M且斜率互为相反数的两条直线分别交C1于A,，B两点，交C2于C,D两点，若|MA|·|MB|=|MC|·|MD|，求直线AB的方程。
求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

解：（1）不可能同时有两个公共点。理由：设过点M的直线l方程为：y=kx+p/2，如果它与圆C2有两个公共点，则圆心（-p/4,0）到直线l距离小于圆的半径√2p/8：|k(-p/4)-0-p/2|/√(k²+1)<√2p/8，两边平方后整理得：k²+8k+7<0，解得：1<k<7。而当k在此区间内时，抛物线C1不可能与直线l有交点，∵kx+p/2>√(2px)即k²x²+(kp-2p)x+p²/4>0恒成立，由于Δ=(k-2)²p²-k²p²=4p²(1-4k)<0。
（2）设直线AB与x正半轴夹角为α(π/2>α>0)，直线AB的参数方程为y=p/2+tsinα，x=tcosα。代入抛物线C1方程后得到：(p/2+tsinα)²=2ptcosα，整理后得到：4sin²α·t²+4p(sinα-2cosα)t+p²=0。根据“根与系数的关系”得到：t₁·t₂=|MA|·|MB|=p²/(4sin²α)。直线CD与直线AB斜率相反，故它与x正轴夹角为π-α，它的参数方程为y=p/2+m·sin(π-α)=p/2+m·sinα，x=m·cos(π-α)=-m·cosα。代入圆C1的方程后整理得到：32m²+16p(2sinα-cosα)m+9p²=0。得到：m₁·m₂=|MC|·|MD|=9p²/32。由|MA|·|MB|=|MC|·|MD|得到：p²/(4sin²α)=9p²/32，解得：sin²α=8/9，则：cos²α=1/9，则tanα=√(sin²α/cos²α)=2√2=k。因此直线AB方程为：y=2√2x+p/2。