求e(x^2)的期望是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

求e(x^2)的期望，实际上就是求x^2的平均值。具体操作是，将每个x值平方，然后求这些平方值的平均数。
在概率论和统计学中，期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值像是随机试验结果的“加权平均值”，其中权重是每个结果发生的概率。
1. 离散变量的期望: 对于离散随机变量，期望是该变量可能取的所有值与其对应概率的乘积之和。如果X是一个离散随机变量，其可能的值为x1, x2, ...，并且每个值对应的概率为p1, p2, ...，则期望E[X]定义为:
E[X] = x1*p1 + x2*p2 + ...
对于函数g(X)（如本例中的X^2），其期望E[g(X)]为:
E[g(X)] = g(x1)*p1 + g(x2)*p2 + ...
因此，对于X^2，其期望为:
E[X^2] = x1^2*p1 + x2^2*p2 + ...
2. 连续变量的期望: 对于连续随机变量，期望的定义类似于离散情况，但是涉及到积分而不是求和。如果X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)，则期望E[X]定义为:
E[X] = ∫x*f(x)dx
对于函数g(X)（如本例中的X^2），其期望E[g(X)]为:
E[g(X)] = ∫g(x)*f(x)dx
因此，对于X^2，其期望为:
E[X^2] = ∫x^2*f(x)dx
例如，考虑一个掷骰子的试验。每次掷骰子得到一个数字（1到6），每个数字出现的概率都是1/6。要计算E[X^2]，我们可以将每个数字平方（1^2, 2^2, ..., 6^2），然后求这些平方值的平均值：
E[X^2] = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) / 6
= (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6
= 91 / 6
≈ 15.17
这个例子展示了如何计算离散随机变量的函数的期望。对于连续随机变量，计算过程会涉及到积分，但基本概念是相似的：你需要找到g(X)（在这个例子中是X^2）的每个可能值与其发生概率的乘积之和（或积分）。