高一数学（难题）

Question

已知a>0，函数f(x)=ax-bx²
（1）当b>1时，证明对任意x∈[0,1]，都有|f(x)|<=1的充要条件是b-1<=a<=2√b;
（2）当0<b<=1时，讨论：对任意x∈[0,1]，都有|f(x)|<=1的充要条件

Answer 1

(1) 因a>0 b>1 f(x)=-b(x-a/2b)²+a²/4b
为开口向下的抛物线，对称轴x=a/2b>0
所以 a/2b<1 a<2b时 f(x)最大=f(a/2b)=a²/4b
a/2b>1时 a>2b时 f(x)最大=f(1)=a-b
①对任意x∈[0,1]，都有|f(x)|<=1 即-1≤f(x)≤1
则必需-1≤a²/4b≤1 即a²≤4b a≤2√b
1≥f(1)=a-b≥-1 1+b≥a≥b-1
因1+b>2√b
综上：b-1<=a<=2√b;
② 当b-1<=a<=2√b时
则a-b≥-1 即f(1)≥-1
a≤2√b a²/4b≤1 即f(x)最大≤1
所以对任意x∈[0,1]，都有|f(x)|<=1
(2) 当0<b<=1时，
①对任意x∈[0,1]，都有|f(x)|<=1 即-1≤f(x)≤1
则必需-1≤a-b≤1 即0≤a≤b+1
1≥f(a/2b)=a²/4b≥-1 a≤2√b
综上：0≤a≤2√b;
② 当0<=a<=2√b 0<b<=1时
则a-b≥-1 即f(1)≥-1
a≤2√b a²/4b≤1 即f(x)最大≤1
所以对任意x∈[0,1]，都有|f(x)|<=1
故对任意x∈[0,1]，都有|f(x)|<=1的充要条件0≤a≤2√b;
希望能帮到你O(∩_∩)O

Answer 2

1、
证明：
根据题意可知：f(x)≤1对任意实数都成立，即-bx²+ax-1≤0恒成立

因为a＞0，b＞0，若使-bx²+ax-1≤0恒成立，则有判别式△≤0

即a²-4b≤0，也即0＜a≤2√b

所以f(x)≤1是a≤2√b的充分条件

2、
解：当b=1时，f(x)=ax-x²≤1在x∈[0,1]区间上恒成立

即-x²+ax-1≤0在x∈[0,1]区间上恒成立，令g(x)=-x²+ax-1

若使g(x)≤0在x∈[0,1]区间上恒成立

须且只须：对称轴a/2≥1且g(1)≤0

a/2≥1即a≥2，g(1)≤0即a≤2

所以a=2

所以当b=1时，f(x)≤1对任意x∈[0,1]恒成立的充要条件是a=2本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

看我个人资料 可以回答你的问题追问

你的话是什么意思，

追答

上面的回答都是有问题的 第一个回答错得离谱 第二个第二问不是太准确 充要条件不范围窄了 应该是0<a<=b+1

追问

我知道他们错的离谱，也有答案，但没过程，高手帮帮忙，完成我会给你额外悬赏金的，拜托了