勾股定理难题

正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上两个动点，连接AE、AF分别交BD于H、G两点∠EAF=45°求证DG2+BH2=GH2

推荐答案 2011-08-23

将三角形ADG以A为旋转点顺时针旋转90° （旋转后AD与AB边重合并记旋转后的对应的三角形是ABM）由于是旋转所以有三角形ADG与三角形ABM 全等所以AG=AM BM=DG 角DAG=角BAM
连接HM BM 角HAM=角HAB+角BAM=角HAB+角DAG=90°-角GAH=90°-45°=45°=角GAH
又由于AG=AM AH=AH 所以三角形GAH与三角形MAH全等所以GH=HM
又由于角ABH=角ABM=角ADG=45° 所以角HBM=90° 由勾股定理
BH^2+BM^2=HM^2 由于BM=DG GH=HM 所以DG^2+BH^2=GH^2

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第1个回答 2011-08-23

把三角形ADG绕A顺时针旋转90度至三角形ABK
连接KH
因为∠EAF为45度
易证∠KAH为45度 AK=AG AH=AH
所以三角形AGH全等三角形AKH
所以GH=KH
易证∠HBK=90度
所以原题得证

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