二次函数与方程有何关系?

如题所述

函数与方程虽然是有区别的,但又紧密相关。二次函数与一元二次方程也不例外。这是本节标题把二次函数与一元二次方程合在一起的原因。但是几何与代数在建立迪卡尔坐标系之前是分开的,例如圆锥曲线属于几何学的范畴,二次函数与一元二次方程却属于代数学的范畴。现在通过解析几何把两者紧紧联系在一起了。

应该是一元二次方程的求根公式。

二次方程可谓是人类在数学探索的伟大成就之一,它最早是在公元前2000年到1600年,被古巴比伦人提出用于解决赋税问题。在4000多年后的今天,二次方程被用来解决更多样更复杂的数学应用问题,数以百万计的人(尤其是学生)都努力把二次方程公式铭刻在他们的脑海中。

有人说这是一个令人头秃的求根公式

   你是否曾经被这个求根公式困扰过呢?

这个复杂的、难以记忆的公式,是为了求解二次方程ax²+bx+c=0而推导出的。当你还是一个可可爱爱的初中生,解方程便开始纠缠你。你为了想起这个无敌复杂的公式而挠破头皮,最终你还不得不重新推导一遍——往常的教学方式通常利用配方法将公式推导出来。

数学家们花费了几个世纪尝试了无数方法来求解二次方程,其中大部分方法都十分复杂甚至是“反人类”。“配方法”则是目前普遍采用的较为简单易懂的推导,这种方式并非凭借直觉,而是靠“补全平方”来求解。

二次方程课题的提出已有4000多年的历史,因其求解公式的复杂性,这也曾成为几个世纪代数学生的噩梦。

二次函数与一元二次方程的关系如下,别弄糊涂啊。

1、一元二次方程

二次函数

当函数值y=0时的特殊情况。

图象与x轴的交点个数:

①当

时,图象与x轴交于两点

,其中

的是一元二次方程

的两根。这两点间的距离

②当

时,图象与x轴只有一个交点;

③当

时,图象与x轴没有交点。

 当a>0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y>0;

 当a<0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y<0。

2. 抛物线的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); 

(1)当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;

(2) 当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;

(3)当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负。

总结起来,c决定了抛物线与y轴的交点位置。

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

⑶根据图象的位置判断二次函数

中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

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