解:(1)CD=BE.理由如下:
∵△ABC和△ADE为等边三角形
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60o
∵∠BAE =∠BAC-∠EAC =60o-∠EAC,
∠DAC =∠DAE-∠EAC =60o-∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC, ∴△ABE ≌ △ACD
∴CD=BE
(2)△AMN是等边三角形.理由如下:
∵△ABE ≌ △ACD, ∴∠ABE=∠ACD.
∵M、N分别是BE、CD的中点,
∴BM=
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD, ∴△ABM ≌ △ACN.
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN是等边三角形.
设AD=a,则AB=2a.
∵AD=AE=DE,AB=AC, ∴CE=DE.
∵△ADE为等边三角形, ∴∠DEC=120 o, ∠ADE=60o,
∴∠EDC=∠ECD=30o , ∴∠ADC=90o.
∴在Rt△ADC中,AD=a,∠ACD=30 o , ∴ CD=.
∵N为DC中点,
∴, ∴.
∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形,
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN
解法二:△AMN是等边三角形.理由如下:
∵△ABE ≌ △ACD,M、N分别是BE、CN的中点,∴AM=AN,NC=MB.
∵AB=AC,∴△ABM ≌ △ACN,∴∠MAB=∠NAC ,
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o
∴△AMN是等边三角形
设AD=a,则AD=AE=DE= a,AB=BC=AC=2a
易证BE⊥AC,∴BE=,
∴ ∴
∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMN
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