抛物线焦点弦的八大结论推导过程是什么？

Question

如题所述

Answer 1

总结一下有四大类共18个结论：

第一类是常见的基本结论；

第二类是与圆有关的结论；

第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；

第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

①过抛bai物线y^2=2px的焦点F的弦AB与它交于点

A(x1,y1),B(x2,y2).则

|AB|=x1+x2+p

证明：设抛物线的准线为L，从点A、B分别作L的垂线垂足是C、D。由于L的方程是x＝-p/2,所以

|AC|=x1+p/2,|BD|=x2+p/2,

根据抛物线的定义有：|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,

所以：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

类似有：

②过抛物线x^2=2py的焦点F的弦AB与它交于点

A(x1,y1),B(x2,y2).则

|AB|=y1+y2+p.

③过抛物线y^2=-2px的焦点F的弦AB与它交于点

A(x1,y1),B(x2,y2).则

|AB|=-x1-x2+p.

④过抛物线x^2=-2py的焦点F的弦AB与它交于点

A(x1,y1),B(x2,y2).则

|AB|=-y1-y2+p.

一般的圆锥曲线弦长可以用弦长公式来求，但因为焦点弦经过焦点这条特殊的性质，使得焦点弦长有着其他更加方便的求法（根据已知信息选择相应公式）。

注意：双曲线有两条分支，焦点弦的端点在同一支上时，焦点在焦点弦上，此时焦点弦长为两条焦半径之和。焦点弦的端点在两支上时，焦点在焦点弦的延长线上，此时焦点弦长为两条焦半径之差。公式中的字母与椭圆的情况相同。

类比椭圆的第一个公式，椭圆左焦点弦和双曲线两支左焦点弦表达式相同，和双曲线同支左焦点弦表达式互为相反数，另一边同理。