如何求向量的投影？

Question

如题所述

Answer 1

向量的投影可以理解为一个向量在另一个向量方向上的影子。 更具体地说，设向量A为要投影的向量，向量B为投影的方向向量。首先计算向量B的单位向量，即将向量B除以其长度，得到单位向量b。 然后通过公式A·B（A和B的内积）计算出两个向量之间的夹角θ，最后用A·Bcosθ计算出投影值。

在这个过程中，需要注意的是，投影向量是一个在投影方向上的向量，它与原始向量 A 在投影方向上的分量相同，但在垂直于投影方向的方向上的分量为零。 所以，当我们需要求一个向量在某个方向上的投影时，我们实际上是在求一个新的向量，这个新的向量的长度等于原向量的长度乘以原向量与方向向量之间的夹角的余弦值，且其方向与方向向量相同。

Answer 2

在向量代数中，将向量b投影到向量a上的投影向量的公式可以使用向量点积（内积）来表示。如果向量a和b的长度为非零，则向量b在向量a上的投影向量P可通过以下公式计算：
P = (b · a) / |a|² * a
其中，· 表示向量的点积（内积），|a| 表示向量a的长度（模）。
这个公式的含义是将向量b投影到与向量a同方向的向量上，并通过点积来计算投影的长度。将向量a的单位向量（长度为1）与点积相乘后，再将结果乘以向量a的长度，即得到在向量a上的投影向量P。
需要注意的是，这个公式适用于二维和三维向量空间。在更高维度的情况下，可以将该公式推广为多维向量的投影公式。
另外，如果希望计算投影向量P的长度，可以使用向量的模（长度）计算公式：
|P| = |b| * cosθ
其中，θ是向量b和向量a之间的夹角。这是因为投影向量的长度等于向量b的长度乘以投影角度的余弦值。