设f(x1)/(x+4)=f(x2)/(x2+2)=f(x3)/(x3+1/2)=k
得f(x1)=k(x+4),f(x2)=k(x2+2),f(x3)=k(x3+1/2),
形式上是三条平行直线，斜率k，分别过（-4,0），（-2，0），（-1/2,0）；
三条直线与f(x)相交，f（x2）介于f（x1）、f（x3）之间，根据连续性，经过前后两条直线的曲线，必然也经过中间一条直线，因此不可能出现，前后两条直线与曲线交于3个点，中间的直线反而与曲线只相交于2个点的情况。题目无解。
图像仅在[-3,+∞）有定义，x<-3没有定义（中断），首先减少交点的也是位于边上的直线，而不是位于中间的直线，从这个角度看，也不应该有解。
我们可以更详细地解决这个问题。就是分别求出三条直线与f(x)的交点数以及其对应的k的范围，然后选择符合题意的交集。
先研究曲线f（x）的属性，并且画出图像。
-3≤x≤0：
f(x)=-x(x+2)²≥0，有两个零点x=-2，x=0，其中x=-2是与x轴的一个切点。图形И形，三次函数曲线，
f'(x)=-(x+2)²-2x（x+2）=-（x+2）（x+2+2x）=-（x+2）（3x+2），
两个根：x1=-2，x2=-2/3，前一个是极小值点，（-2,0），后与个是极大值点（-2/3,2/3.（-2/3+2）²）=（-2/3，（2/3）（4/3）²）=（-2/3,32/27）；
x=0，f(0)=0,是右端点；x=-3，f(-3)=3,是左端点；
f'(-3)=(-1)(-9+2)=7;f'(0)=2×2=4；图像如下：
x>0:
f(x)=2e^x(4-x)-8;
f'(x)=2e^x(4-x)-2e^x=2e^x.(3-x),x=3,f'(3)=0,左侧，f'(x)>0，增；右侧，f'(x)<0,减，x=3有极大值f(3)=2e³-8=32.171；
f''(x)=2e^x.(3-x)-2e^x=2e^x.(2-x),x<2,f''(x)>0，向上凹；x>2,f''（x）<0,向下凹。
f(4)=-8<0,(3,4)间有一个零点，x=3.921；
f(0)=0,是左端点,f（x）在x=0连续；x-->+∞，f(x)-->-∞，没有右端点。
f'(0)=6,f（x）在x=0，导数不存在（左右导数不等），形成一个尖角。
图像如下：
k<0,三条平行线与图像的交点：
k>0，三条平行线与图像的关系：
图像与f(x1)=k(x1+4)的交点个数如下图：
（1）k<0,与图像右边向下延伸部分有1个交点；
（2）k=0，x轴，与函数图像有x=-2，x=0，x=3.921,3个交点；
（3）k>0,x轴附近，与函数图像有5个交点；
（4）直线在x<0的x=-2/3附近，与曲线相切，有4个交点，此时k为：
k=f'(x)=-(x+2)(3x+2),-2<x<-2/3,
k=f(x)/(x+4)=-x(x+2)²/（x+4）=-(x+2)(3x+2)
x(x+2)²/（x+4）=(x+2)(3x+2)
x(x+2)/（x+4）=3x+2
x²+2x=3x²+14x+8
2x²+12x+8=0
x²+6x+4=0，Δ=6²-4×4=20，
x=（-6±2√5）/2=-3±√5，x=-3+√5=-0.764
k=-(-3+√5+2)(3（-3+√5）+2)
=-(√5-1)(-7+3√5)=-（15-7√5+7-3√5）=-（22-10√5）=10√5-22
=0.361
（5）k>10√5-22,3个交点；
（6）直线通过图像左端点，k=3/（-3+4）=3,3个交点；
（7）k>3,两个交点；
（8）直线与图像x>0,y>0部分相切，一个交点：
f(x)/(x+4)=f'(x)
[2e^x(4-x)-8]/(x+4)=2e^x(3-x)
2e^x(4-x)-8=2e^x(3-x)(x+4)
x=2.868306153,k=4.637511652;
(9)k>4.637511652,直线与图像无交点：
（10）总结如下：
k>4.637511652,直线与图像无交点，
k=4.637511652，k<0,一个交点；
3<k<4.637511652,2个交点；
10√5-22<k≤3，k=0，3个交点；
k=10√5-22，4个交点；
0<k<10√5-22,5个交点；
追答图像与f（x2）=k（x十2）的交点个数，见下图:
（1）（2,0）与图像左端点连线的斜率，k=-3/（-2十3）=-3,
k0部分相切，3个交点；
（8）直线与图像y轴右边部分相切，[2e^x（4-x）-8]/（x十2）=2e^x（3-x）
x=2.800842941,k=6.555658669，2个交点；
（9）k> 6.555658669，1个交点。
（10）总结:
k> 6.555658669，1个交点；
k<-3，k= 6.555658669，2个交点；
-3≤k≤0,1<k< 6.555658669，3个交点；
k=1,4个交点；
0<k<1,5个交点；
图像与f（x3）=k（x3十1/2）的交点个数如下图:
（1）图像左端点与（-1/2,0）的连线斜率=-3/（-1/2十3）=-3/2.5=-1.2
k0部分相切，3个交点；
（6） 直线与图像x>0部分相切，[2e^x（4-x）-8]/（x十1/2）=2e^x（3-x）
x=2.666740567
k=9.593192518,2个交点；
（7）k> 9.593192518，1个交点。
（8）总结:
k> 9.593192518，1个交点；
k= 9.593192518，k<-1.2，2个交点；
-1.2≤k< 9.593192518，3个交点。
f（x2）=k（x2十2）仅有两个点，k4.637511652，无交点,
可见，确实无解。
f（x3）=k（x3十1/2）,k<-1.2，2个交点；k= k=6.555658669，3个交点。
答案(1,3]
三条直线与图像的交点，都是3个。
符合连续性要求。但不符合题意。