在三角形ABC中,E,F分别为AB,AC上的点，DE⊥AB，DF⊥AC,AD⊥EF求证AD为∠BAC的角平分线

Question

如题所述

Answer 1

【设AD交EF于O】
证法1.【用射影定理】
∵DE⊥AB，DF⊥AC,AD⊥EF
∴AE²=AO×AD, AF²=AO ×AD
∴AE²=AF²
∴AE =AF
又∵⊿AED和⊿AFD是Rt⊿，且AD=AD
∴Rt⊿AED≌Rt⊿AFD（HL）
∴∠EAD=∠FAD
即AD为∠BAC的平分线。
证法2【相似（类似于射影定理）】
证明：（简写）
∵∠AED=AOE=90º，∠EAO=∠DAE
∴⊿AEO∽⊿ADE
∴AE/AD=AO/AE，推出AE²=AO·AD
同理⊿AFO∽⊿ADF
∴AF/AD=AO/AF，推出AF²=AO·AD
∴AE²=AF²
……同上
证法3【四点共圆】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC,AD⊥EF
∴∠AED=∠AFD=90º
∴∠AED+∠AFD=180º
∴AEDF四点共圆
∴∠EAD=∠EFD
∵∠OFD=∠AFD-∠AFO=90º-∠AFO
∠OAF=∠AOF-∠AFO=90º-∠AFO
∴∠OAF=∠OFD（∠EFD）
∴∠EAD=∠OAF
即AD为∠BAC的角平分线。

Answer 2

设AD和EF相交于O，
∵〈AED=〈AFD=90°，
∴<AED+<AFD=180°，
∴D、E、A、F四点共圆，
∴<EAD=<DAF,(同弧圆周角相等），
∵〈DOF=90°，（已知）
∴<ADF+〈OFD=90°，
∵〈DAF+〈ADF=90°，
∴<DAF=〈OFD（〈EFD），
∴<BAF=〈DAF，
即AD是〈BAC的角平分线。