巩固
1．函数f(x)＝1x－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C.∵f(x)的定义域{x∈R|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝1－x－(－x)＝－(1x－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．故选C.
2．函数y＝ln(1－x)的图象大致为( )
解析：选C.本题中由于我们比较熟悉y＝lnx的图象，它的图象是位于y轴右边过点(1,0)且有上升趋势的图象．接着y＝ln(－ x)的图象是由y＝lnx的图象关于y轴翻折到y轴左边所得．再将所翻折图象向右移一个 单位即得y＝ln[－(x－1)]＝ln(1－x)的图象．
3．(原创题)如右图所示，已知圆x2＋y2＝4，过坐标原点但不与x 轴重合的直线l、x轴的正半轴及圆围成了两个区域，它们的面积分别为p和q，则p关于q的函数图象的大致形状为图中的( )
解析：选B.因p＋q为定值，故选B.
4.已知下列曲线：
以下编号为①②③④的四个方程：
① x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.
请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．
解析：按图象逐个分析，注意x、y的取值范围．
答案：④②①③
5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．
解析：由奇函数图象的特征可得f(x)在 [－5,5]上的图象．由图象可解出结果．
答案：{x|－2＜x＜0或2＜x≤5}
6．(1)作函数y＝|x－x2|的图象；
(2)作函数y＝x2－|x|的图象．
解：(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－(x－x2)，x＞1或x＜0，
即y＝－(x－12)2＋14，0≤x≤1，(x－12)2－14，x＞1或x＜0，其图象如图①所示．
(2)y＝x2－x，x≥0，x2＋x，x<0，
即y＝(x－12)2－14，x≥0，(x＋12)2－14，x＜0，其图象如图②所示．
练习
1．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至把容器注满，在注水过程中水面的高度变化曲线如图索示，其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的形状是( )
解析：选C.由函数图象可判断出该容器必定有不规则形状，再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段，故可排除ABD，选C.
2．(2009年高考安徽卷)设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是( )
解析：选C.当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0.故选C.
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝log0.5f(x)的图象大致是( )
解析：选C.由同增异减的单调性原则可得：当x∈(0,1)时y＝log0.5f(x)为增函数，且y＜0，当x∈(1,2)时y＝log0.5f(x)为减函数，且－1＜y＜0，分析各选项易知只有C符合上述条件．
4．(2009年高考北京卷)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上 所有的 点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析：选C.∵y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋ 3)的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象．
5.下列函数的图象，经过平移或翻折后不能与函数y＝log2x的图象重合的函数是( )
A．y＝2x B．y＝log12x
C．y＝12•4x D．y＝log21x＋1
解析：选C.y＝log2x与y＝2x关于y＝x对称；y＝log2x与y＝log12x关于x轴对称；而y＝log21x＋1的图象可由y＝log2x的图象翻折再平移得到．
6．函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示)，其定义域 为[－1,0)∪(0,1]，则不等式f(x)－f(－x)＞－1的解集是( )
A．{x|－1≤x≤1且x≠0}
B．{x|－1≤x＜0}
C．{x|－1≤x＜0或12＜x≤1}
D．{x|－1≤x＜－12或0＜x≤1}
解析：选D.由图可知，f(x)为奇函数．
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)－f(－x)＞－1
⇔2f(x)＞－1
⇔f(x)＞－12⇔－1≤x＜－12或0＜x≤1.故选D.
7．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(1f(3))的值等于________．
解析：∵f(3)＝1，∴1f(3)＝1，
∴f(1f(3))＝f(1)＝2.
答案：2
8．函数y＝f(x)(x∈[－2,2])的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)＝________.
解析：由图象可知f(x)为定义域上的奇函数．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.
答案：0
9．已知函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x.若f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是________．(注意：m in表示最小值)
解析：画出示意图
f(x)*g(x)＝ 2－x2，x≤－2，x，－2＜x＜1，2－x2，x≥1
其最大值为1.
答案：1
10．已知函数f(x)＝
(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．,
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．
11.若1＜x＜3，a为何值时，x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？
解：原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①,作出函数y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象如图．
显然该图象与直线y＝a的交点的横坐标是方程①的解，由图可知：当3＜a＜134时，原方程有两解；
当1＜a≤3或a＝134时，原方程有一解；
当a＞134或a≤1时，原方程无解．
12．已知函数f(x)＝m(x＋1x)的图象与h(x)＝14(x＋ 1x)＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求m的值；
(2)若g(x)＝f(x)＋a4x在(0,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设P(x，y)是h(x)图象上一点，点P关于A(0,1)的对称点为Q(x0，y0)，则x0＝－x，y0＝2－y.
∴2－y ＝m(－x－1x)，
∴y＝m(x＋1x)＋2，从而m＝14.
(2)g(x)＝14(x＋1x)＋a4x＝14(x＋a＋1x)．
设0<x1<x2≤2，
则g(x1)－g(x2)＝14(x1＋a＋1x1)－14(x2＋a＋1x2)
＝14(x1－x2)＋14(a＋1)•x2－x1x1x2
＝14( x1－x2)•x1x2－(a＋1)x1x2>0，
并且在x1，x2∈(0,2]上恒成立，
∴x1x2－(a＋1)<0，∴1＋a>x1x2,1＋a≥4，∴a≥3.
巩固（二）
1．(2010年皖南八校联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．7
解析：选C.由题意得f(3)＋f(0)＝－f(－3)＋f(0)＝2＋0＝2.故选C.
2．(2009年高考福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选A.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
在A中，由f′(x)＝－1x2＜0得f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；
在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数．
在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数．
在D中，由f′(x )＝1x＋1且x＋1＞0知f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．
3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|1x|)＜f(1)的实数x的 取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C.∵f(x)在R上为减函数且f(|1x|)＜f(1)，
∴|1x|＞1，
即|x|＜1 且x≠0，得－1＜x＜0或0＜x＜1.
4．(原创题)已知f(x)＝x2＋x，则f(a＋1a)________f(1)．(填“≤”“≥”)．
解析：∵a＋1a≥2或a＋1a≤－2，
f(x)的对称轴为x＝－12.
∴f(x)在(－12，＋∞)上为增函数，
在(－∞，－12)上为减函数．
又f(2)＝22＋2＝6>2＝f(1)，
f(－2)＝(－2)2＋(－2)＝2＝f(1)，
∴f(a＋1a)≥f(1)．
答案：≥
5．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________________.
解析：由于f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，
可知b≠0，∴f(x)为二次函数，
f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)
＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
∵f(x)为偶函数，
∴其对称轴为x＝0，∴－2a＋ab2b＝0，
∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.
若a＝0，则f(x)＝bx2与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b＝－2，又其最大值为4，
∴4b×2a24b＝4，∴2a2＝4，
∴f(x)＝－2x2＋4.
答案 ：－2x2＋4
6.已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的值．
解：(1)证明：设x2＞x1＞0，
则x2－x1＞0，x1x2＞0.
∵f(x2)－f(x1)＝(1a－1x2)－(1a－1x1)
＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2＞0，
∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，
又f(x)在[12，2]上单调递增，
∴f(12)＝12，f(2)＝2，代入可得a＝25.
练习
1．对于定义在R上的任何奇函数，均有( )
A．f(x)•f(－x)≤0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)•f(－x)＞0 D．f(x)－f(－x)＞0
解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)•f(－x)＝－[f(x)]2≤0.
2．(2010年重庆联合诊断)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象是( )
解析：选B.∵y＝f(|x|)是偶函数，∴y＝f(|x|)的图象是由y＝f( x)把x>0的图象保留，x<0部分的图象关于y轴对称而得到的．
3．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( )
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4 ]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
解析：选B.由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数的特征性质图如下．
A．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选C.由题意知
当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，
又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
5．(2009年高考福建卷)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上 ，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1
C．y＝2x＋1，x≥0x3＋1，x＜0 D．y＝ex，x≥0e－x，x＜0
解析：选C.利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝2x＋1，x≥0，x3＋1，x＜0在(－2,0)上为增函数．
y＝ex，x≥0，e－x，x＜0在(－2,0)上为减函数，故选C.
6．(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f( x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈N*时，有( )
A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)
B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)
C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)
D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)
解析：选C.对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)•(f(x2)－f(x1))＞0，因此x2－x1和f(x2)－f(x1)同号，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于n∈N*，且n＋1＞n＞n－1，所以－n－1＜－n＜－n＋1≤0，即f(n＋1)＝f(－n－1)＜f(－n)＜f(－n＋1)＝f(n－1)．
7．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f (x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)
即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.
答案：－－x－1
8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
解析：y＝－(x－3)|x|
＝－x2＋3x，x＞0，x2－3x，x≤0.
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．
答案：[0，32]
9．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取 值范围为________．
解析：易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx－ 2)＋f(x)＜0⇒f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2＜－x⇒xm＋x－2＜0，对所有m∈[－2,2]恒成立，令f (m)＝xm＋x－2，此时只需f(－2)＜0f(2)＜0即可，解之得－2＜x＜23.
答案：(－2，23)
10．求证：f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数．
证明：设x1，x2∈(0,1]，且x1<x2.
则f(x1)－f(x2)＝1＋x1x1－1＋x2x2
＝x2＋x1x2－x1－x2x1x1•x2
＝x2－x1＋x1x2(x1－x2)x1•x2
＝(x2－x1)(1－x1x2)x1x2.
∵x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，
∴x2－x1>0,1－x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数．
11．已知函数f( x)在定义域[－2,2]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
解：∵f (x)的定义域为[－2,2]，
∴有－2≤1－m≤2，－2≤1－m2≤2，
解得－1≤m≤3，①
又f(x)为奇函数，在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，
即－2<m<1.②
综合①②可知，－1≤m<1.
12．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x＞00， x＝0x2＋mx， x＜0是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考