曲线积分、曲面积分、体积分的区别是什么？

Question

如题所述

Answer 1

一般都是直角坐标系下的积分，但是当积分路径沿着曲线时，就有了曲线积分的定义，当积分的曲线路径是闭环时，在表达上就可以用∮来表示。同理，当我是在体积域上积分时，下面写个V就表示体积分，相应的积分的微量是dV。

上述的只是积分的表达形式，他们的基本含义是一样。包括最终的计算，都可以转化为直角坐标系下的积分来进行，比如上面的体积分可以转换为三重积分∫∫∫f(x,y,z)dxdydz。

积分通常分为定积分和不定积分两种。

直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。