排列组合问题

Question

已知有14个不同的长方形箱子,每个箱子能容纳5*6=30个货物
若有386个不同的货物,
则求这些货物放在箱子中的放法共多少种?
求详细的解法!

Answer 1

由于箱子不同，货物也不同所以这个问题是相当复杂的，本来数字规模比较小的时候我还能给你算算，现在数字这么大我只能给你思路，然后求助计算机了。
令xij表示第i个货物是否放在第j个箱子（i=1，2，……，386；j=1，2，……，14），是为1，不是为0；
则有固定某个j对每个i求和表示j号箱子放的货物个数
得0≤∑（xij）≤30 (任意j成立，这里对i求和)
固定某个i对j求和则为1表示i号货物被放进去了，没有遗留在外面
∑(xij)=1 （任意i成立，这里对j求和）
把所有符合的答案都累加起来就是所有的方法种类了。

另外一种思路你也可以逆回来想，只是你给的数据还是麻烦了点，我下面稍微说一下，如果我们用13个箱子来装，则意味着再取出4个来；
则有C（13，1）*C（30，4）+C（13，1）*C（30，3）*C（12，1）*C（30，1）
+C（13，2）*C（30，2）*C（30，2）+C（13，1）*C（30，2）*C（12，2）*C（30，1）*C（30，1）+C（13，4）*C（30，1）*C（30，1）*C（30，1）*C（30，1）=929816550种
你看用13个箱子装都这么复杂了，现在用14个箱子装，你可以讨论第四个装i个，则相当于从13个满的箱子中取出i+4个，取出的个数还不是这种情况下的答案，因为你放i个货物还可以使不同组合的i个，方正就是很复杂了，手算是很笨的啦！还是用回上面那个运筹学中的0，1规划来弄更好。

Answer 2

结果：(A(420,420)/(A(30,30)^14))*c(420,34)种
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思路1：一个货物一个货物地放，一个一个地算，一级一级地算，找规律归纳总结。(我就手算，我就不信这是笨方法)
(说明：以下^表示乘方)
第1个货物:14种放法
第2个货物：14^2种放法
...
第30个货物：14^30种放法
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第31个货物：？
我们碰到了每箱30的限制，这时就要开始分类了：
问：14^30种中多少种是1箱都满的，多少种是都没满的？
答：14种是1箱满的，14^30-14种是都没满的
于是
第31个货物:(14^30-14)*14+14*13
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下面用升级算法说明第(任意)个货物时怎么算
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原理：
假设第n个货物的放法中：x0种0箱满，x1种1箱满,x2种2箱满,x3种....
第n+1个货物的放法有多少呢?:
0箱满:(x0-14)*14 -14是因为14种升级到1箱满1
1箱满:14*13+(x1-13)*13 14*13是升级上来的14种的目前放法,-13同样是升级了
2箱满:13*12+(x2-12)*13 同理
.........
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简化:
0箱满：x0-->14*x0-14^2
1箱满: x1-->13*x1+13
2箱满: x2-->12*x2+12
........
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第n+2个货物:
0箱满：14*(14*x0-14^2)-14^2=14^2*x0-14^3-14^2
1箱满：13*(13*x1+13)+13=13^2*x1+13^2+13
2箱满：12*(12*x2+12)+12=12^2*x2+12^2+12
.....
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第n+m个货物：
0箱满：14^m*x0-(14^(m+1)+14^m+...+14^2)
1箱满：13^m*x1+(13^m+13(m-1)+...+13)
2箱满：12^m*x2+(12^m+12(m-1)+...+12)
.....
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于是只要确定初值x0,x1,x2...,n,m值就好了:
第386个货物:
0箱满: n=30,(因为从30开始才有升级现象)
x0=14^30,m=386-30=356
即:14^356*14^30-(14^(356+1)+14^356+...+14^2)
1箱满：n=60,(从60开始出现升级到2箱满的)
x1=c(60,14)*c(14,1)-c(14,2),m=386-60=326
意为:从60箱中选14个货物的组合填到任意一箱，再扣掉2箱满的
2箱满: n=90,同理
x2=c(90,28)*c(28,14)*c(14,2)-c(14,3),m=386-90=296
......
11箱满: n=360,m=386-360=26
x11=c(360,14*11)*c(14*11,14)*c(14*10,14)...c(14*1,14)/A(14,14)-c(14,12)
12箱满：这个不能按上面的算，因为它升不了级
直接就是c(386,360)*c(360,14)*c((360-14),14)*...*c(14,14)*(386-360+1)
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代入上面的公式，全部加起来就是结果了。
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以上推理有误的话，欢迎指出。
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思路2：先放420个货物，再从中取出420-386=34个
放420个货物放法有A(420,420)/(A(30,30)^14)种，
420个货物中取出34个，有c(420,34)种，
于是得到：(A(420,420)/(A(30,30)^14))*c(420,34)种

Answer 3

需要13个箱子装
C12A360C1
14 386 2

Answer 4

共有420选出386为C420.386，386可任意排序为A390.390，则为（C420.386）*（A386.386）

Answer 5

A420，386