数学几何证明题

Question

如图(1).AF‖BC,EC⊥BC,BA‖DE,BD‖AE.甲乙两人同时从B站乘车到F站,甲乘1路车,路线B→A→E→F;乙乘2路车,路线是B→D→C→F.假设两车速度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达F站?说明理由

如图(2).,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
1)证明:四边形ADCE为矩形
2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明

在平行四边形ABCD中,E.F分别是AB,CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H
(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗?
(2)什么时候四边形EHFG会成为一个菱形?
(3)四边形EHFG会成为一个一个正方形吗?
可点图看大一点的.这个不是很清楚

Answer 1

一.解：∵AB‖DE，AE‖DB
∴四边形ABDE为平行四边形
∴AE＝AD，AB＝ED
∵AD为对角线
∴S△ADB＝S△ADE
过B作BH垂直于AF交FA延长线于H
∵AF‖CB，∠ECB＝90°
∴∠AFC＝90°
∴四边形AFCB为矩形
∴BH＝CF
∵S△ADB＝S△ADE
∴AD×BH＝AD×EF
∴BH＝EF
∴EF＝FC
即△DEC为等腰三角形
∴ED＝DC
∴AB＝DC
∴AB＋AE＋EF＝CD＋DB＋CF
∴二者同时到达
二解：（1）∵AB＝AC，AD⊥CB
∴AD平分∠BAC
∵AM平分∠MAC
∴∠DAC＋∠NAC＝（∠BAC＋∠MAC）÷2＝90°
∵∠ADC＝∠AEC＝90°
∴四边形ADCE为矩形
（2）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形，理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴∠ACB＝45°
∵∠ADC＝90°
∴AD＝AC
∴矩形ADCE为正方形
三解：（1）在平行四边形ABCD中，AB平行等于CD
∵E，F分别为AB，CD的中点
∴AE平行等于FC
∴四边形AECF为平行四边形
∴GH‖EH
同理可得，EG‖FH
所以四边形GEHF为平行四边形
（2）当四边形ABCD为矩形时，四边形GEHF为菱形，连接EF
在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB平行等于DC
∵矩形也是平行四边形
∴四边形GEHF为平行四边形
∵E，F分别为AB，CD的中点
∴AE平行等于DF
∴四边形AEFD为平行四边形
∵∠BAD＝90°
∴平行四边形AEFD为矩形
∴AG＝AF÷2＝DE÷2＝EG
∴平行四边形GEHF为菱形
（3）当四边形ABCD为矩形，且AD＝AB÷2时，四边形GEHF为正方形
在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB平行等于DC
∵矩形也是平行四边形
∴四边形GEHF为平行四边形
∵E，F分别为AB，CD的中点，AD＝AB÷2
∴AE平行等于DF，AD＝AE
∴四边形AEFD为菱形
∵∠EAD为90°
∴菱形AEFD为正方形
∴AF⊥ED
即∠EGF为90°
所以菱形EGFH为正方形

Answer 2

1.同时到达
BA‖DE,BD‖AE
所以四边形ABDE是平行四边形
所以ADE的面积=ABD的面积
过B作BH垂直于AF交FA延长线于H
因为AF‖BC
所以BH=FC
ADE的面积=ABD的面积 而且AD=AD 所以高相等
即EF=BH 而BH=FC
所以EF=FC AF‖BC,EC⊥BC
所以AF⊥EC
所以AF是EC的中垂线
所以DE=DC
所以三角形DEC是等腰三角形
所以BA+AE+EF=DE+BD+EF
DE=DC EF=FC
所以BA+AE+EF=BD+DC+CF
所以同时到达

2.1）
因为AB=AC
所以角B=角ACB
因为角CAM=角B+角ACB
所以角CAM=2角B
因为AN平分角CAM
所以角MAE=角EAC=角B
所以AN//BC
因为AD垂直BC
所以AD垂直AN
因为CE垂直AN
所以AD//CE
所以四边形ADCE为矩形

2）
因为四边形ADCE为矩形
所以当AD=DC时四边形ADCE是一个正方形
因为AD垂直BC
所以角ADB=角ADC=90度
因为AB=AC，AD=AD
所以三角形ADB全等于三角形ADC
所以BD=DC
因为当AD=DC时，四边形ADCE是一个正方形
所以当AD=1/2BC时，四边形ADCE是一个正方形

3.1）
因为四边形ABCD是平行四边形,E F分别是AB CD的中点
所以AE平行且等于CF
所以四边形AECF是平行四边形
所以AF平行于EC
即GF平行于EH
同理 EG平行于HF
所以四边形EHFG是平行四边形
2）
当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形 证明如下：
因为四边形ABCD是矩形
所以∠ABC=∠DCB=90°，BE=CF,BC=BC
所以三角形EBC≌三角形FCB
所以CE=BF，∠ECB=∠FBC
所以BH=CH
EH=FG
所以平行四边形EHFG是菱形

3）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB=2AD时，平行四边形EHFG是正方形 证明如下：
此时AE=AD=DF=AB/2
∠EAD=∠FDA=90°
所以四边形ADFE是正方形
所以EG=FG=AF/2, AF⊥DE
∠EGF=90°
所以平行四边形EHFG是正方形

Answer 3

解：作BC中点H，连接如图。
易证△GAB≌△EBB1
所以，∠GBA
=
∠EB1B
又因为，∠GBB1
+  ∠EB1B
=
90°
所以，∠GBB1
+  ∠GBA
=
90°
即GB⊥EB1——（1）
因为FB1⊥GB——（2）
由（1）（2）得：
GB⊥面FB1E，所以GB⊥EF——（3）
同理可证：BD⊥面EHF，所以BD⊥EF——（4）
由（3）（4）得：EF⊥面DBG
你先看一下，能看懂吗？

Answer 4

 
∵ABCD是菱形，
∴AD=CD
又∵DE=1/2CD
∴DE=1/2AD
∴∠DAE=30°
∴∠D=60°
∵AD//BC
∴∠C=120°
 
再做个小结就可以了

Answer 5

∵ABCD是菱形，
∴AD=CD
∵DE=1/2CD
∴DE=1/2AD
∴∠DAE=30°
∴∠D=60°
∵AD//BC
∴∠C=120°