求{ln[x+(1+x^2)^1/2]}^2 dx的不定积分

Question

如题所述

Answer 1

∫ ln²[x + √(1 + x²)] dx
= x · ln²[x + √(1 + x²)] - ∫ x · dln²[x + √(1 + x²)] <== 分部积分法
= x · ln²[x + √(1 + x²)] - ∫ x · 2ln[x + √(1 + x²)] · 1/√(1 + x²) · dx
= x · ln²[x + √(1 + x²)] - ∫ 2ln[x + √(1 + x²)] d√(1 + x²)
= x · ln²[x + √(1 + x²)] - 2√(1 + x²)ln[x + √(1 + x²)] + 2∫ √(1 + x²) dln[x + √(1 + x²)] <== 分部积分法
= x · ln²[x + √(1 + x²)] - 2√(1 + x²)ln[x + √(1 + x²)] + 2∫ √(1 + x²) · 1/√(1 + x²) dx
= x · ln²[x + √(1 + x²)] - 2√(1 + x²)ln[x + √(1 + x²)] + 2x + C