在四边形ABCD中，角B与角D互补，点M，N分别在BC，CD边上，角MAN=1\2角BAD。求证MN=BM+DN

Question

如题所述

Answer 1

【此题缺一条件：AB=AD】

证明：

延长CB的E使BE=DN，连接AE

∵∠B与∠D互补，即∠ABM+∠D=180°

   ∠ABM+∠ABE=180°

∴∠D=∠ABE

又∵AD=AB，DN=BE

∴△ADN≌△ABE（SAS）

∴AN=AE，∠DAN=∠BAE

∵∠MAN=½∠BAN

∴∠DAN+∠BAM=½∠BAN

∴∠EAM=∠BAE+∠BAM=½∠BAN

∴∠MAN=∠EAM

又∵AD=AE，AM=AM

∴△AMN≌△AME（SAS）

∴MN=ME=BM+BE=BM+DN

【辅助线也可直接写为将△AND绕点A旋转到AD与AB重合】

Answer 2

打漏条件AB＝AD   [否则看长比宽大许多的长方形就知道结果不成立]

延长CD到G ,使DG＝BM   则△ADG≌△ABM﹙SAS﹚   ∴AM＝AG

∠NAG＝∠BAD-∠MAN＝∠MAN     ∴△ANG≌△NAM﹙SAS﹚ MN＝GN＝BM+DN