高中代数

Question

题目如图所示，关于数列的问题

Answer 1

注意：C(k,n)中k为上标，n为下标

这题可以用代数求解

当x=1时，所求得的即为各项系数的和
原因：
通项：C(k,n)*(4x)^(n-k)*(-1)^k
每项系数为C(k,n)*4^(n-k)*(-1)^k，
x=1时刚好等于每项系数

即
(4*1-1)^n=729
3^n=3^6
n=6

x^3的通项为：C(3,6)*(4x)^(6-3)*(-1)^3=-1280x^3

x^3的系数为：C(3,6)*4^(6-3)*(-1)^3=-1280

答案为-1280

Answer 2

若(4x-1)^n的展开式中各项系数的和为729,
也就是相当于说展开式中令x=1时的值.
那么就得到:(4-1)^n=3^n=729
所以n=6
那么再利用多项式展开式的性质,x^3的系数就是C(3,6)*(4^3)*(-1)^3=-1280本回答被提问者采纳

Answer 3

展开各项为：
∑C(k,n)(4x)^k*(-1)^(n-k)
令x=1
系数和为:
∑C(k,n)4^k*(-1)^(n-k)=3^n=729
解得n=6
则x^3系数为：
∑C(3,6)4^3*(-1)^(6-3)
=20*64*（-1）
=--1280