慎空题/1设积分区域D:x2+y24,则二重积分f(x,y)dxdy在极坐标下化为二次积分为？

Question

如题所述

Answer 1

根据题目，积分区域D为x^2 + y^2 ≤ 4的圆形区域。
在极坐标系下，设二次积分为：
∬f(x, y)dxdy = ∬f(r cosθ, r sinθ)r dr dθ
对于函数f(x, y)，由于在圆形区域内，有x^2 + y^2 ≤ 4，因此有r ≤ 2。所以可以将积分区域从笛卡尔坐标系下改用极坐标系表示，则有：
∬f(x, y)dxdy = ∫[0, 2π]∫[0, 2]f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
这里的r和θ是极坐标系下的变量，范围由积分区域确定。
将二次积分在极坐标系下化简后，即可按照题目要求计算出积分结果。