塑性理论

Question

如题所述

Answer 1

在经典土力学中，亦即在太沙基创建土力学学科之前，塑性理论就在土力学中得到应用。但这些塑性理论基本上是刚塑性理论和弹性———理想塑性理论。前者在达到屈服条件之前不计土体的变形，一旦应力状态达到屈服条件，土体的应变就趋于无限大或者不可确定；后者是认为土体应力达到屈服之前是线弹性应力应变关系，一旦发生屈服，则呈理想塑性，亦即应变趋于无限大或者不能确定，所以这两种塑性理论中的屈服与破坏具有相同的意义。这些经典塑性理论模型莫尔库仑（Mohr-Coulomb）准则，密塞斯（Mises）准则或者屈雷斯卡（Tresca）准则长期以来用于分析和解决与土的稳定有关的工程问题，如地基承载力问题，土压力问题和边坡稳定问题。它们的共同特点是只考虑处于极限平衡（塑性区）条件下或土体处于破坏时的终极条件下的情况而不计土体的变形和应力变形过程。

随着土的本构关系模型的发展，现代土力学中增量弹塑性理论模型得到广泛应用。在这类模型中，土的弹性阶段和塑性阶段并不能截然分开，亦即是应变硬化（或应变软化）的屈服条件，土体破坏只是这种应力变形的最后阶段。

在这类模型中，假定土的总应变及其增量分为可恢复的弹性应变和不可恢复的塑性变形两部分，即：

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式中：ε_ij为应变张量；ε^e_ij为弹性应变张量；ε^p_ij为塑性应变张量；dε_ij为应变张量增量；dε^e_ij为弹性应变张量增量；dε^p_ij为塑性应变增量张量。

4.4.1.1 屈服准则

屈服准则是弹塑性材料被施加一应力增量后判别其加载还是卸载，或是中性变载的条件，亦即它是判断是否发生塑性变形的准则。在加载时dε^e和dε^p都会产生；卸载时仅产生dε^e。塑性应变成为屈服准则的一个内变量，在简单的应力状态下可表示为：

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式中：f为屈服函数；q为广义剪应力；q_y为屈服广义剪应力；ε^p为塑性应变。

在一般应力状态下，屈服准则可用一应力张量的函数来表示：

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式中：f为屈服函数；σ_ij为应力张量；H为反映材料塑性性质的参数，一般为塑性应变的函数，称为硬化参数。

用屈服函数判断加卸载的方法如下：

1）f＝0时，应力状态在屈服面上， 为加载，dε^p和dε^e同时发生； ＝0为中性变载，只发生弹性变形dε^e； 为卸载，只发生弹性变形dε^e。

2）f<0，则表示应力状态在现有屈服面之内，微小的应力变化只产生弹性应变。

在土的弹塑性模型的屈服函数中通常只包括两个应力不变量。

屈服准则用几何方法来表示即为屈服面和屈服轨迹。由于许多模型都假设土是各向同性的，则在不同的三维应力空间中表示成为曲面，被称为屈服面。这一屈服面与任一二维应力坐标平面的交线就是屈服轨迹。

由于在增量的弹塑性模型中，超越目前的屈服面的应力变化都将引起新的屈服和产生新的屈服面，所以屈服面和屈服轨迹是一系列曲面族或曲线族。

土的屈服准则很难严格准确地确定。这主要是由于实际上土常常并没有十分严格的加载卸载或弹性塑性变形的分界，在许多试验中卸载再加载过程中也有塑性应变发生。另外，由于应力路径的影响，某一应力状态下的应变不唯一，加卸载也难以唯一确定。所以屈服准则一般是基于经验及假设而建立的。

最一般的方法是基于上述的理解，假设一定的屈服面（锥面、帽子等），然后再设定适当的硬化参数H，使计算应力应变关系符合试验结果。实际上许多土的本构模型都采用此法。

另一种方法是根据屈服准则的定义直接从试验来确定土在一定应力平面上的屈服轨迹。具体的方法是利用三轴试验在p-q应力平面上不断变化应力路径，从相应的应力应变曲线判断加卸载，然后得到小段屈服轨迹，用曲线拟合得到屈服函数。这种方法的不足之处首先是不同应力路径得到的结果可能不同，另外有时应力应变曲线上的屈服点不易清晰界定，因而整理出一套完整的屈服轨迹和屈服面比较困难。

4.4.1.2 流动规则与硬化定律

在塑性理论中，流动规则用来确定塑性应变增量的方向或确定塑性应变增量张量的各个分量间的比例关系。在塑性理论中规定了塑性应变增量的方向是由在应力空间中的塑性势面g来决定的：在应力空间中各应力状态点的塑性应变增量方向必须与通过该点的塑性势面相垂直，所以它也称为正交定律。这实质上是假设在应力空间中一点的塑性应变增量的方向是唯一的，只与该点的应力状态有关，与施加的应力增量的方向无关。亦即：

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式中：dλ为塑性因子。

与屈服函数一样，塑性势函数也是应力状态的函数，可表示为：

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或者

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式中：I₁、I₂、I₃分别为第一、第二、第三应力不变量；θ为罗德角。

根据Drucker假说，对于稳定材料，

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因而dε^p_ij必须正交于屈服面，并且屈服面也必须是外凸的，这就是说塑性势面g与屈服面f必须是重合的，亦即：

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这被称为相适应的流动规则，它满足经典塑性理论要求的材料稳定性，能保证解的唯一性，其刚度矩阵［D］_ep是对称的。

相反，如果令f≠g，即为不相适应流动规则。加工硬化定律是决定一个给定的应力增量引起的塑性应变大小的准则，亦即dλ是由硬化定律决定的。

硬化参数H一般是塑性应变的函数，即：

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4.4.1.3 弹塑性本构模型的弹塑性模量矩阵的一般表达式

根据弹塑性应变的定义，从式（4.29）得到：

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两侧乘以弹性模量矩阵［D］：

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其中，

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因此可以得到：

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或者

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则可得到｛dσ｝与｛dε｝的关系式：

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式中：［D］_ep即为弹塑性模量矩阵，一般表达式为：

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对于相适应流动规则g＝f，则：

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它是一个对称矩阵。