两个自然数的积一定是合数

Question

如题所述

Answer 1

两个自然数的积不一定是合数。

首先，我们来回顾一下合数的定义：大于1的自然数，除了1和它本身之外，还有其他的正因子。

假设我们有两个自然数a和b，其中a≠1且b≠1。根据乘法的定义，a*b表示将a加上自己b次，或者将b加上自己a次。因此，a*b是由a或b相加得到的一个数。

现在，我们分两种情况来讨论：

情况一：a和b中至少有一个数为质数。如果a或b是质数，那么它们的积a*b就是一个合数。因为质数只有1和它本身两个因子，而a*b至少有4个因子，即1、a、b和a*b，所以a*b是一个合数。

情况二：a和b都不是质数。如果a和b都不质数，那么它们都可以分解成多个质数的乘积。设a=p1^k1*p2^k2*..*pn^kn，b=q1^l1*q2^l2*...*qm^lm，其中pi和qj都是质数，ki和lj都是正整数。

如果a和b之间没有相同的质因数，那么a*b的因子个数(k1+1)(k2+1)...(kn+1)(l1+1)(l2+1)...(lm+1)，即一个整数的因子个数公式。由于a和b都不是质数，所以它们至少有两个质因数，即n≥2。因此，a*b至少有(k1+1)(l1+1)*4个因子。

如果a和b之间有相同的质因数，那么a*b的因子个数就会减少。但是无论如何a*b都不一定是合数。

综上所述，两个自然数的积不一定是合数。情况二中，如果a和b之间没有相同的质因数，那a*b一定是合数。但是，如果它们之间有相同的质因数，那么a*b就不一定是合数了。