高数曲线积分，格林公式？

Question

证明题

Answer 1

设区域D被曲线L所围成，则根据格林公式有：

$\oint_L (xe-2y)dx + xdy = \iint_D \frac{\partial x}{\partial y}-\frac{\partial (xe-2y)}{\partial x}dxdy = \iint_D 1-0dxdy = S_D$

其中$S_D$表示区域D的面积。

又因为曲线L是封闭的，所以它所围成的区域D也是封闭的。而在D内部取任意一点$(x_0,y_0)$，则可以通过向L内部的任何一条路径进行积分，得到：

$\int_{(x_0,y_0)}^{(x_0,y_0)} (xe-2y)dx + xdy = 0$

又根据路径无关积分的性质，有：

$\int_{(x_0,y_0)}^{(x_0,y_0)} (xe-2y)dx + xdy = \oint_L (xe-2y)dx + xdy = S_D$

因此，有：

$S_D = 0$

即区域D的面积为0，即曲线L是一个点或一条线段。在其中任意一点，$dx$和$dy$同时为0，故原方程成立。