向量的投影可以为负吗？

Question

如题所述

Answer 1

可以是负值。当两个向量的夹角为钝角时，其投影就会出现负值。

设两非零向量a，b，a与b夹角为θ，则a在b方向上的投影为a的模长乘以cosθ，因为向量间夹角范围是［0，pi]，所以，当θ为锐角时，值为正，直角时，值为0，钝角时，值为负，所以向量的投影可以是负值。

共线向量基本定理：

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：

1、充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2、必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣＝m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ＝m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ＝-m，有b=λa。如果b=0，那么λ＝0。

3、唯一性：如果b=λa=μa，那么（λ－μ）a=0。但因a≠0，所以λ＝μ。