初一华杯赛试题

Question

如图：EF为三角形ABC边上的点，CE与BF交于点P，已知三角形PBC的面积为12，并且三角形BEP，三角形CFP四边形AEFP的面积都相等。
求：三角形BEP的面积。

这是一道初一华杯赛的试题，我有答案，但是我不会解，请会的朋友告诉我解题过程！

谢谢了

Answer 1

方法一：连接EF。

因为三角形BEP和CPF的面积相等，则三角形BEC和BFC的面积相等，底都是BC，它们的高一定相等，即EF平行于BC。

设BEP的面积是S，由蝴蝶定理，三角形EPF的面积是：S*S/12

则三角形AEF的面积是：S-S*S/12

因为EF平行于BC，则三角形AEF和ABC 以及 三角形EPF和CPB都是相似三角形，利用相似三角形的面积比等于对应边的边长比的平方的特点，知道：

AEF/ABC = (EF/BC)^2, EPC/CPB= (EF/BC)^2

所以面积比：AEF/ABC ＝EPC/CPB

即： （S-S*S/12）/(3S+12) = S*S/12 / 12

解此方程得到S＝4

方法二： 上面的方法要复杂一些，有些内容不知道你学过没有，下面给一个简单的方法.

连接EF, 连接AP。

同上，可知：EF平行于BC。下面是有关三角形的面积比：

ΔPBE ：ΔPAE ＝BE ：EA；ΔPCF ：ΔPAF ＝ CF ：FA。

因为 EF平行于BC，所以 BE ：EA ＝ CF ：FA

即：ΔPBE ：ΔPAE ＝ΔPCF ：ΔPAF ；而ΔPBE ＝ ΔPCF

所以ΔPAE＝ΔPAF，而ΔPAE ＋ ΔPAF ＝ ΔPBE ＝ S，

所以ΔPAE＝ΔPAF ＝ S/2 ; 即：ΔPAE ：ΔPBE ＝s/2 : s = 1：2

即：AE：EB＝1：2； 那么ΔAEC ：ΔBEC ＝1：2 【1】

ΔAEC＝S+S=2S, ΔBEC=S+12

代入【1】, S+12 = 2*2S , 3S=12, S=4

Answer 2

我得出的结果是4√3,也不知道对不对,我数学不太好,呵呵!
说下过程吧:,设BEF面积为x 由C点向AB边做垂线,长度记为a
由题意和设可知:BEC的面积=12+x ABC的面积=12+3x AEC的面积=2x
即:BE*a=12+x AB*a=12+3x AE*a=2x AB=BE+AE
所以a=2x/AE 带入前两式得(BE/AE)2x=12+x ① (BE+AE)2x/AE=12+3x ②
①式得BE/AE=12+x/2x ②式整理一步得2x(1+BE/AE)=12+3x
①式带入②式得2x{1+(12+x/2x)}=12+3x
整理之后得x=4√3
不知道我的结果对不对,如果不对就当我没说.......

Answer 3

用第二位回答的第二个方法比较容易理解。运用面积比，线段比，再回过来面积比，线段比，最后求出和已知面积相关联的线段面积比，求出最后要求。