如何证明三角形角三条平分线、高、中线、垂直平分线各自三条都交于一点？答好的大哥加分

Question

附加：除题目回答外，请问证明三线交于一点有何根据、定理可用？

Answer 1

(1)三条平分线:

先画一个三角形ABC，再画出任意两个角（设为∠A，∠B）的平分线相交于O点，
自O点作三边的垂线交三边于D,M,N,则OD=OM=ON,连接OC,则OC平分∠C,所以三角形三条角平分线交于一点。

(2)垂直平分线

先作两边的垂直平分线交予一点，连接此点到三个角的顶点，由线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等再过这点向第三边作垂线，根据:到一条线段两端相等的点一定在其垂直平分线上，可知刚做的垂线是第三边的垂直平分线所以三角形的三边垂直平分线一定交于一点

(3)高

先做两条高（角平分线和中线）的交点，连交点和另一顶点.延长交于这个顶点的对边.
角平分线利用的角平分线上的点到角的两边的距离相等.这样三段距离都相等就可以证明第三条是角平分线
没学向量以前中线可以利用面积去算,利用底相等,高相同.然后就可以证明到分开的六块面积都相等。
高的话好象只能用向量积来证明了(高一才学)

(4)中线

设△ABC的两条中线BD、CE交于点G,连结AG并延长交BC于M(我们只要能证明点M是BC的中点即可),作BN‖CE交AM延长线于N,连结CN. 因为E是AB中点,BN‖CE,所以点G是AN中点(平行线等分线段定理),又因为点D是AC的中点,所以GD‖CN(三角形中位线定理),因此四边形BNCG是平行四边形,所以BC、GN互相平分,即点M是BC的中点,AM是BC边上的中线. 由于中线具有唯一性,这就证明了△ABC的三条中线AM、BD、CE交于所设点G.

Answer 2

（偷点懒）
http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/f6849e7fafcc1c3f0cd7da88.html
http://zhidao.baidu.com/question/78620354.html
http://zhidao.baidu.com/question/2134843.html
至于垂直平分线可先在任一三角形作两条垂直平分线，再在第三边做垂线。由之前两条垂直平分线得到他们的公共点（叫外心），用这个点连接三顶点（三角形的三个角），因为两条垂直平分线的缘故，所以三边两两相等，得出三边相等，所以以第三边做一边和两条连接顶点的边构成等腰三角形，因为这个等腰三角形垂直于第三边，所以得出这条垂线不仅垂直，而且平分顶角（因为等腰两底角相等，用垂线分开的两个90°也是相等的，所以用垂线分开的两个小直角三角形的第三个角也是相等的），所以得出它是垂直平分线。
（不知道我的表达能力怎么样~~）
另外：三线合一必须是等腰三角形，不是任意三角形的，初三都有讲，可以在等腰三角形上做底边的高，证明全等，就可得出这垂线可平分顶角而且是条中线。另外如果证出两线合一也可以是等腰三角形，也是全等能证到。不过一般三线合一可以直接用的，不需要证全等那么麻烦。