请帮忙用微积分证明一下椭圆面积S=pi*a*b

Question

请解释得仔细一些。

Answer 1

根据面积定积分性质可有：
s=∫（-a到a）[b*√a(a^2-x^2）-(-b*√a(a^2-x^2)]dx
=2b/a∫（-a到a）√(a^2-x^2)dx
=4b/a∫（0到a）b*√(a^2-x^2)dx

根据积分不定积分公式：

∫√(a^2-x^2)dx=x*√(a^2-x^2)/2+(a^2/2)arcsinx/a+c

可得到：
s=4b/a*(a^2/2)arcsina/a
=4b/a*(a^2/2)*pi/2
=pi*a*b

Answer 2

x^2/a^2+y^2/b^2=1
y=±b√(1-x^2/a^2)
S=2b∫√(1-x^2/a^2)dx[x:-a→a]
∝4ab∫√(1-x^2)dx[x:0→1]
∫√(1-x^2)dx[u:0→1]
∝∫cosθdsinθ[θ:0→π/2]
=∫(cosθ)^2dθ[θ:0→π/2]
=∫(cos2θ+1)dθ/2[θ:0→π/2]
=π/4

S=πab