物理竞赛题

Question

光滑桌面上有一质量为M,倾角为θ的斜面体（是一个直角三角形，θ为贴在地面的那个锐角），其上有一个质量为m的木块(三角形斜边向上)，木块m与斜面体M之间的摩擦因数μ<tanθ，以水平力F推斜面物体M。问：若要使木块相对于斜面保持静止，F的大小应在什么范围内？

Answer 1

斜面静止的时候，m所受摩擦力向上，与m重力斜面分力平衡。运动的时候，摩擦力因为正压力改变而改变，先减小之后反向增大，这就是F的范围。

m重力的斜面分力向下，大小是mgsinθ；斜面静止的时候m对斜面的正压力垂直于斜面大小为mgcosθ，摩擦力平行斜面向上，为μmgcosθ。

mgsinθ÷μmgcosθ=tanθ/μ≠1，即mgsinθ＞μmgcosθ，物块会向下滑落。

要使得斜面与物块保持相对静止，则斜面需要运动，水平推力F正交分解到斜面上，沿斜面的分力是Fcosθ，斜面法向分力为Fsinθ，这是斜面施加给物块的力，牛顿第三定律可以得出当以F推动斜面的时候，物块给斜面的反作用力情况，此时的物块受到的非摩擦性质的力为mgsinθ-Fcosθ，方向沿斜面向下，物块恰好静止时，摩擦力为μ(Fsinθ+mgcosθ)，即mgsinθ-Fcosθ=μ(Fsinθ+mgcosθ)，F=(mgsinθ-μmgcosθ)/(cosθ+μsinθ)；随着F逐渐加大，当mgsinθ-Fcosθ＜0之后，摩擦力反向，当物块恰好可以向上运动的瞬间，则有Fcosθ-mgsinθ=μ(Fsinθ+mgcosθ)，F=(mgsinθ+μmgcosθ)/(cosθ-μsinθ)；
所以F当满足：
(mgsinθ-μmgcosθ)/(cosθ+μsinθ)≤F≤(mgsinθ+μmgcosθ)/(cosθ-μsinθ)。

Answer 2

由μ<tanθ知mgsinθ>μmgcosθ
没F木块是会下滑的
所以受力分析可知 F最小为mgsinθ-μmgcosθ摩擦力向上
最大为mgsinθ+μmgcosθ摩擦力向上

Answer 3

呵呵`很简单的竞赛题嘛
此题用非惯性系解决应该相对简单,以大物块为参考系

如果力的大小是F,那么系统的加速度为a=F/(M+m)
小木块受惯性力大小为f'=am

要保持相对静止,只要考虑斜面方向即可:
mgsinθ-μ（mgcosθ+f'sinθ)<f'<mgsinθ+μ（mgcosθ+f'sinθ)
带入f'=am a=F/(M+m)

即可得到答案：
(M+m)g(sinθ-μcosθ)/(1+sinθ)<=F<=(M+m)g(sinθ+μcosθ)/(1+sinθ)
楼上的答案可能不对
2楼,一定跟M有关啊
3楼,单位错了

楼主注意啊

Answer 4

由于μ<tanθ，可知：mgsinθ>μmgcosθ
所以木块是会沿斜面下滑的

要使木块相对于斜面保持静止，则支持力与重力、摩擦力三力的合力方向与运动方向相同,即是水平方向
F=(M+m)a
如摩擦力方向是沿斜面向下，则在竖直方向： Ncosθ-mg-μNsinθ=0
在水平方向：Nsinθ+μNcosθ=ma
可得出：F=(M+m)*mg(sinθ+μcosθ)/(cosθ-μsinθ)

如摩擦力方向是沿斜面向上，则在竖直方向： Ncosθ+μNsinθ-mg=0
在水平方向：Nsinθ-μNcosθ=ma
可得出：F=(M+m)*mg(sinθ-μcosθ)/(cosθ+μsinθ)

F的大小应在的范围是：(M+m)*mg(sinθ-μcosθ)/(cosθ+μsinθ)<=F<=(M+m)*mg(sinθ+μcosθ)/(cosθ-μsinθ)