帮忙解答一道高中数学题

Question

已知函数f(x)=(1/2)x² +㏑x
1.求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值
2.求证：在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图像在g(x)=(2/3)x³图像的下方
3.设g(x)=f′(x)，求证：[g(x)]∧n≥2∧n -2

Answer 1

1.解：f′(x)=x+1/x 当1<x<e时，f′(x)>0
所以f(x)在[1，e]单调递增~
所以f(x)min=f(1)=1/2,f(x)max=f(e)=(1/2)e²+1
2. 证明：设F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=x+1/x-2x²=（x²+1-2x³）/x=[（x²-x³）+(1-x³)]/x=(1-x)(2x²+x+1)/x
当x>1时，F′(x)<0，所以F(x)在（1，+∞）上单调递减~
所以当x>1时，F(x)=f(x)-g(x)<f(1)=-1/6<0
即当x>1时，f(x)<g(x)，
即在区间（1，+∞）上，函数f(x)的图像在g(x)=(2/3)x³图像的下方
3.证明：g(x)=f′(x)=x+1/x (x>1)
设h(x)=（x+1/x)^n (x>=1)
当n≠0时，h(x)显然在[1，+∞）单调递增
当n=0时，h(x)=1
所以当n≠0时，h(x)>h(1)=2^n>2^n-2
当n=0时,h(x)=1>2^0-2
所以：[g(x)]∧n≥2∧n -2

Answer 2

第一题用导数算