一道初中几何证明题..急,,

Question

如图,正方形ABEO与等腰直角三角形CDO，∠DCO=90°，具有公共顶点O，M为BD中点，MN⊥AC，试探索MN与AC数量关系，说明理由。。。

Answer 1

如果，易证：两组三角形分别全等。

由梯形中位线=1/2（上底+下底），即图中蓝线=1/2（黑线+红线）

即有：MN=1/2AC

参考资料：团队，我最爱数学！

Answer 2

连结BO，取BO、DO的中点G、H
连结AG、GM、AM、MH、CM、CH
∵△BDO中，M、H为中点
∴MH = ½BO，MH // BO
∵Rt△ABO，∠BAO = 90°，G为BO中点
∴AG = ½BO，AG ⊥ BO
∴AG = MH
同理 GM // DO，GM = CH，CH ⊥ OD
∴GMHO为平行四边形
∴∠OGM =∠OHM
∠AGO =∠CHO = 90°
∴∠AGM =∠MHC
∴△AGM≌△MHC
∴AM = CM
∵MN⊥AC
∴MN平分AC
∵∠AMC = 90°
∴MN=½AC

Answer 3

正解，佩服

Answer 4

MN=0.5AC
作OP垂直于AC,过点B作BQ垂直于CA的延长线并交与点Q,过点D作DW垂直于AC的延长线并交于点W
就可证明三角形AQB全等于三角形OPA,三角形CDW全等三角形OCP
则：AP=QB,DW=CP
因为M是BD的中点，又MN垂直DW,
所以N是WQ的中点
在梯形BDWQ中，MN是梯形的中位线，
所以MN=1/2(BQ+DW)=1/2(AP+PC)=1/2AC