初中数学奥赛题~~

Question

设a,b为实数，方程x^2+ax+b=0的两根为x1,x2，且x1^3+x2^3=x1^2+x2^2=x1+x2,问有序的二元数组（a,b)共有多少个？
求详解，O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

由韦达定理得
x1+x2=-a
x1x2=b
所以
x1+x2=-a
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=a^2-2b
x1^3+x2^3=(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=-a^3+3ab
因为x1^3+x2^3=x1^2+x2^2=x1+x2
所以-a^3+3ab=a^2-2b=-a
解得
a=0,b=0
a=-1,b=0
a=-2,b=1

就是都表示出来。
考察因式分解和韦达定理。

Answer 2

告诉了a,b为实数，方程x^2+ax+b=0的两根为x1,x2，
那我们把根表示出来
x1+x2=-a
x1x2=b
且x1^3+x2^3=x1^2+x2^2=x1+x2,问有序的二元数组
可以得到三个等式
（1） x1^3+x2^3=x1^2+x2^2
（2）x1^3+x2^3==x1+x2
（3）x1^2+x2^2=x1+x2
把根代入
（1）(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=(x1+x2)^2-2x1x2
-a^3+3ab=a^2-2b （1-1）
（2）(x1+x2)^3-3x1x2(x1+x2)=x1+x2
-a^3+3ab=-a (2-1)
(3))(x1+x2)^2-2x1x2=x1+x2
a^2-2b=-a (3-1)
由（1-1）（2-1）（3-1）三个等式可以得到答案有三组分别是
a=0,b=0；a=-1,b=0；a=-2,b=1