一道不定积分？

Question

如图

Answer 1

主要就是分部积分法，然后解方程，最后别忘了加上任意常数。

Answer 2

使用分部积分法。设 u = e^(2x), dv = cos(x/3) *dx。那么，
du = 2e^(2x)*dx，v = 3sin(x/3)。则原积分变换为：
I = ∫u*dv
=u*v - ∫v*du
=3sin(x/3)*e^(2x) - 6∫e^(2x)*sin(x/3)*dx + C1
对于新的不定积分 ∫e^(2x)*sin(x/3)*dx，继续使用分部积分法。则：
∫e^(2x)*sin(x/3)*dx = -3cos(x/3)*e^(2x) + 6∫e^(2x)*cos(x/3)*dx
= -3cos(x/3)*e^(2x) + 6I + C2
把这个结果代入前式，可以得到：
I = 3sin(x/3)*e^(2x) + 18cos(x/3)*e^(2x) - 36I + C1 + 6C2
移项，解得：
37I = 3sin(x/3)*e^(2x) + 18cos(x/3)*e^(2x) + C1 + 6C2
则：
I = [3sin(x/3)*e^(2x) + 18cos(x/3)*e^(2x)]/37 + (C1 + 6C2)/37
= [3sin(x/3)*e^(2x) + 18cos(x/3)*e^(2x)]/37 + C

Answer 3

反复用分部积分法，用几次后再把原积分设为t，解方程即可求得
∫e^(2x)cos(x/3)dx
=1/2∫cos(x/3)de^(2x)
=1/2[e^(2x)cos(x/3)-∫e^(2x)dcos(x/3)]
=1/2[e^(2x)cos(x/3)+1/3∫e^(2x)sin(x/3)dx]
=1/2e^(2x)cos(x/3)+1/6∫e^(2x)sin(x/3)dx]
=1/2e^(2x)cos(x/3)+1/12∫sin(x/3)de^(2x)]
=1/2e^(2x)cos(x/3)+1/12[e^(2x)sin(x/3)-∫e^(2x)dsin(x/3)]
=1/2e^(2x)cos(x/3)+1/12[e^(2x)sin(x/3)-1/3∫e^(2x)cos(x/3)dx]
下一步令∫e^(2x)cos(x/3)dx=t
t=1/2e^(2x)cos(x/3)+1/12[e^(2x)sin(x/3)-1/3t]
解方程求出t即可

Answer 4

你们老师难道都没有说过利用定积分的定义求极限吗？请你记住我接下来说的每一个字，以后遇到同样的问题就套这个方法。在[0,1]上求f(x)的定积分，定义是说先插入任意个分点，把区间分成任意多的小段Δxi。再在每个小段上任取一点xi，求函数值f(xi)。相乘，求和，再令Δxi→0取和式极限。如果这个极限值与区间的分法以及点的取法无关，那么就把这个极限值称为定积分。从一般到特殊，既然区间可以任意分，那我就把[0,1]n等分，这样一来每一小段长为1/n。既然点可以任意取，那我就取每个小区间的右端点。注意区间n等分之后，第i个小区间就是[(i-1)/n,i/n]，所以右端点是i/n。相乘，区间长度乘以函数值是1/n*f(i/n)，再把这些全部加起来，注意到每项都有1/n，所以提公因式，1/n*[f(i/n)+f(2/n)+...+f(n/n)]。最后令区间长度趋向零取极限，区间长度是1/n，所以1/n→就等价于n→∞，所以就变成lim(n→∞)1/n*[f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n)]。刚刚说了这个值就是f(x)在[0,1]上的定积分，所以凡是叫你求形如1/n*Σf(i/n)的极限的，请你全部套定积分的定义做。

Answer 5