自然数集的所有子集构成的集合和实数集哪个大，没学过

Question

如题所述

Answer 1

一样大, 即|P(N)|=|R|.

考虑映射f把0映到0, 其余的x映到1/x, 这样R与[0,1]等势.

[0,1]中的每个元素可以唯一对应到{0,1}^N(可数无限次笛卡尔积)一个元素上(展开成二进制无限小数, 小数部分每位对应一个分量, 1等于0.999...), 这样R与{0,1}^N等势.

集合笛卡尔积的基数是原集合基数相乘, 于是|R|=|{0,1}^N|=2^N. 由|P(X)|=2^X(随便证一下就出来了)又有|P(N)|=2^N, 两边相等.
楼下在瞎几把说些啥?

Answer 2

实数集大。
具体证明我就不一点点儿打字儿了。
不过可以知道的是无限集里的可列集（当然包括自然数集）的基数都是
阿列夫零，然后与之相关的所有运算得出的新的集合的基数也应该都是阿列夫零。
但是实数集的基数（势）是阿列夫。因此还是实数集更大。
想要得到更大基数的集合，只有在原来集合的基础上取幂集。（Cantor已经证明过了的）
康托尔还认为，阿列夫零和阿列夫之前没有其他基数，也就是有名的连续统假设。至于今天有没有被证明，我并不能得知。

Answer 3

自然数集合N是整数集合Z的真子集，而整数集合Z是有理数集合Q的真子集，而有理数集合Q是实数集合R的真子集。所以所有自然数集合N都是实数集合R的真子集。更何况自然数集合的子集了。本回答被网友采纳

Answer 4

这个最佳答案纯粹是放屁==题目都没看懂就瞎bb 回答问题拜托负点责。
那个所谓“其他回答”才是一种正确答案。自然数集的幂集与实数集等势，学过连分数的话会觉得很显然。