这些题目都有技巧，不能硬算。
1、设双曲线的焦点在x轴上，且过点A(1, 0)和B(-1, 0)，P是双曲线上异于AB的任意一点，如果三角形APB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。
解：设P(x0, y0)。
因为H为垂心，于是PH⊥AB、AH⊥BP。
AB在x轴上，所以PH垂直于x轴，PH所在直线与双曲线只有两个交点，一个是P(x0, y0)，另外一个为(x0, -y0)（双曲线的对称性）。因为H也在双曲线上，所以H的坐标为(x0, -y0)。
于是，向量AH=(x0-1, -y0)（点H、A的坐标相减），
向量BP=(x0+1, y0)，
因为向量AH⊥BP，所以AH·BP=0（内积为0），
即(x0-1)*(x0+1)-y0^2=0，
化简得x0^2-y0^2=1。
P是双曲线上任意一点。双曲线上任意一点都满足上面这个方程，说明双曲线的方程为：x^2-y^2=1。
2、已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e>1+√2，左右焦点分别为F1、F2，左准线为l。能否在双曲线的左支上找到一点P，使得|PF1|是P到准线l的距离d与|PF2|的等比中项。
解：设右准线为L2，假设这样的点P是存在的。
因为点P到左准线的距离为d，则|PF1|=e*d，d≥a-a^2/c，（因为双曲线上离准线最近的点为同侧对应顶点，最小距离为a-a^2/c）
两条准线间的距离d0=2*a^2/c，于是点P到右准线的距离为d2=d+d0（P在双曲线的左支上）。
于是，|PF2|=e×d2=e*(d+d0)=e*(d+2*a^2/c)，
|PF1|=e*d，
由已知条件d、PF1、PF2成等比数列，故 PF1^2=d*PF2，
即 e^2*d^2=d*e*(d+2*a^2/c)，
所以，e*d=d+2*a^2/c，(e-1)d=2*a^2/c
d=2*a^2/c(e-1)=2*a^3/c(c-a)，
因为 d≥a-a^2/c，
所以 2*a^3/c(c-a)≥a-a^2/c，
化简得： 2*a^2≥(c-a)^2
因为 c>a>0，c-a>0，
所以， √2*a≥c-a，(√2+1)*a≥c，
e=c/a≤√2+1，
这与已知条件e>1+√2矛盾。所以，这样的点P不存在。
3.已知圆x^2+y^2-9x=0与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线C交与A、B两点，三角形AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程。
解：由于圆位于y轴右方，则抛物线也在y轴右方，法则不会与圆相交。设抛物线方程为y^2=2px，则焦点为H(p/2, 0)。
由于抛物线和圆都关于x轴对称，故其交点也关于x轴对称，即A、B关于x轴对称。由于A、B都在抛物线上，可设其坐标分别为A(y1^2/2p, y1)，B(y1^2/2p, -y1)，
由于H为△OAB的垂心，故HA⊥OB，所以向量HA·OB=0，（内积为0）。
向量HA=(y1^2/2p,-p/2, y1)，OB=(y1^2/2p,, -y1)，
由HA·OB=0得：(y1^2/2p-p/2, y1)·(y1^2/2p, -y1)=0，
即 (y1^2/2p-p/2)*y1^2/2p - y1^2=0，
则 (y1^2/2p-p/2)*y1^2/2p = y1^2，因为y1≠0，两边约去 y1^2，化简得：y1^2=5p^2。
于是A点坐标为：(5p/2, y1)。
因为A点在圆上，故 (5p/2)^2+y1^2-9*(5p/2)=0，
即 (5p/2)^2+5p^2-9*(5p/2)=0，
解之，p=0（舍去）或p=2。
故抛物线方程为：y^2=4x。
4.在双曲线x^2/13-y^2/12=-1的一支上有不同的三点A(x1, y1)、B(x2, 6)、C(x3, y3)，它们与焦点F(0, 5)的距离成等差数列
（1）求y1+y3；
（2）求证线段AC的垂直平分线经过一定点。
解：（1）焦点F(0, 5)对应的准线方程为y=12/5，由于A、B、C在双曲线的同一支上，B在双曲线的上面一支，故它们到直线的距离分别为：
d1=y1-12/5，d2=6-12/5，d2=y3-12/5。
因为d1*e=AF，d2*e=BF，d3*e=CF，
AF、BF、CF成等差数列，故2*BF=AF+CF，
即 2*d2e=d1*e+d3*e，
所以 2*d2=d1+d3，
即 2*(6-12/5)=y1-12/5+y3-12/5，
所以 y1+y3=12。
（2）设AC中点为D，则D点坐标为((x1+x3)/2, (y1+y3)/2)=((x1+x3)/2, 6)，对线段AC的中垂线上任意一点P(x, y)，由PD⊥AC得：向量PD·AC=0，（内积为0），
向量AC=(x3-x1, y3-y1)，向量PD=((x1+x3)/2-x, 6-y)，
故 (x3-x1, y3-y1)·((x1+x3)/2-x, 6-y)=0，
化简得：(x3^2-x1^2)/2-x(x3-x1)+(y3-y1)(6-y)=0。 ……①
由点A、B在双曲线上得：
y1^2/12-x1^2/13=1，
y3^2/12-x3^2/13=1，
两式相减得： (y3^2-y1^2)/12=(x3^2-x1^2)/13
所以 (x3^2-x1^2)=13*(y3^2-y1^2)/12=13*(y3-y1)(y3+y1)/12=13*(y3-y1)，
即 x3^2-x1^2=13*(y3-y1)，
代入①式得： 13/2*(y3-y1)-x(x3-x1)+(y3-y1)(6-y)=0，
化简： (y3-y1)(25/2-y)=x(x3-x1)，
此即为AC中垂线方程。当x=0时，y=25/2，与x1、y1、x3、y3的取值无关。即，不论点A、C位于何处，其中垂线必定通过点(0, 25/2)。
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