向量的向量积

Question

百科里说：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a、b是向量。
我不是很懂，问一下，向量的向量积怎么用图形来表示？如果表示的是面积怎么会有方向呢？

Answer 1

向量积 也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量垂直。

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。叉积可以被定义为：

  |向量a×向量b|=|a||b|sinθ

  在这里θ表示两向量之间的角夹角（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。

  这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于和：若满足垂直的条件，那么也满足。

  “正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k) 的左右手定则。若 (i, j, k) 满足右手定则，则 (a,b,a ×b) 也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

  一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，则将右手的拇指指向第一个向量的方向，右手的食指指向第二个向量的方向，那么结果向量的方向就是右手中指的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

几何意义

  叉积的长度 |a × b| 可以解释成以 a 和b 为边的平行四边形的面积。进一步就是说，三重积可以得到以 a，b，c 为边的平行六面体的体积。

Answer 2

有向面积