一道函数极限计算题？高数

Question

如题所述

Answer 1

方法如下图所示，
请认真查看，
祝学习愉快，
学业进步！

满意请釆纳！

Answer 2

先以e为底，变形为ln[(2^x+3^x)/2]/x的极限. 再用洛必达法则变形为(2^xln2+3^xln3)/(2^3+3^x)的极限.然后直接代入x=0，得到e的(ln2+ln3)/2次方，也就是根号6.

Answer 3

(2^x+3^x)/2= e^[(ln(2^x+3^x)-ln2)/x]
其中x趋于0时，(ln(2^x+3^x)-ln2)/x为0/0型，用洛必达法则有(2^x*ln2+3^x*ln3)/(2^x+3^x),
x趋于0时，(2^x*ln2+3^x*ln3)/(2^x+3^x)极限为(ln2+ln3)/2=(ln6)/2=ln6^(1/2)
所以最终极限＝e^ (ln6^(1/2))=6^(1/2)

Answer 4

lim(x—>0)[(2ˣ+3ˣ)/2]¹⸍ˣ
＝e^{lim(x—>0)[(2ˣ+3ˣ)/2-1](1/x)}
＝e^{lim(x—>0)(2ˣ+3ˣ-2)/(2x)}
＝e^{lim(x—>0)[(2ˣ-1)/x+(3ˣ-1)/x]/2}
＝e^[(ln2+ln3)/2]
＝√6 .