面面平行的判定

Question

如题所述

Answer 1

面面平行的判定如下：

一、面面平行

面面平行，指的是两个平面平行。如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面也平行。

如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。

二、示例一

经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。已知：P是平面α外一点求证：过P有且只有一个平面β∥α。

证明：先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b，过P分别作a'∥a，b‘∥b，则a’和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l⊥β1且l⊥β2。

再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。

三、示例二

平行平面间的距离处处相等。已知：α∥β，AB⊥α，DC⊥α，且A、D∈α，B、C∈β求证：AB=CD。

证明：连接AD、BC由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，那么AB和CD构成了平面ABCD∵平面ABCD∩α=AD，平面ABCD∩β=BC，且α∥β∴AD∥BC（定理2）∴四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD。