a^x的导数如下：
1、a^x的导数是一个涉及指数函数和复合函数求导的数学问题。首先，我们需要了解指数函数的导数性质和复合函数的求导法则。
2、指数函数的导数性质：根据指数函数的导数性质，我们知道对于任意实数x和正实数a，有：（a^x）'=a^x*ln（a）其中，ln（a）表示a的自然对数。这个性质告诉我们，指数函数a^x的导数是一个与a和x有关的函数。
3、复合函数的求导法则复合函数的求导法则告诉我们，如果一个函数由两个或多个函数组成，那么这个复合函数的导数可以通过组成函数的导数来求解。具体来说，如果有一个复合函数f（g（x）），那么这个函数的导数可以表示为：f（g（x）））'=f'（g（x））*g'（x）
4、f'（g（x））表示f对g（x）的导数，g'（x）表示g对x的导数。这个法则告诉我们，在求复合函数的导数时，需要用到组成函数的导数以及复合函数中各变量的导数。
5、现在我们可以利用指数函数的导数性质和复合函数的求导法则来求解a^x的导数。我们可以将a^x表示为一个复合函数，即f（u）=u^x，其中u=a^t，t为中间变量。我们可以根据复合函数的求导法则得到a^x的导数。
6、即：（a^x）'=（u^x）'=u^x*（ln（u））'=u^x*u'*ln（u）=a^x*ln（a）*（lna+1）因此a^x的导数为a^x*ln（a）*（lna+1）。这个结果告诉我们，当a>1时a^x是增函数；当0<a<1时，a^x是减函数。
导数的作用如下：
1、导数可以估算函数值的增量变化。用以确定某点的函数曲线走势。导数可以描述函数图像的斜率。斜率与函数图像相关，通过斜率值可以直观地描述图像。
2、导数可以用于定义求积。导数帮助我们确定求积的面积，而求积能求出曲线在某特定区间内的积分值。导数可以用于求得最大值和最小值。导数用于判断函数曲线的极值，在函数曲线发生拐点时，标志着函数值的最大值或最小值等。
3、导数可以用于分析函数的变化性。可以根据函数的一阶或二阶导数的正负判断函数的变化情况，从而判断函数的凸凹性。