2008年全国初中数学联赛第一试试题及参考答案
一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)
1.设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
2.如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为( )
A. B.4 C. D.
3.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则( )
A.BM＞CN B.BM=CN C.BM＜CN D.BM和CN的大小关系不确定
5.现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为( )
A.()3 B.()4 C.()5 D.
6.已知实数x，y满足(x-)(y-)=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为( )
A.-2008 B.2008 C.-1 D.1
二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)
1.设a =，则=_____________.
2.如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为_______________.
3.已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m|+|n|≤1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则|p|+|q|=___________.
4.依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 _________.
答案
一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D
二、1.- 2 2. 3. 4.1
解答：一、1.由题设条件可知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b，
所以a，b是一元二次方程x2-3x+1=0的两根，故a+b=3，ab=1.
因此+====7.
2.因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，
于是△AEF∽△ABC，故==，即cos∠BAC=，所以sin∠BAC=.
在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×=.
3.能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个，所以所组成的数是3的倍数的概率是=.
4.∵∠ABC=12°，BM为∠ABC的外角平分线，∴∠MBC =(180°-12°)=84°.
又∠BCM = 180°-∠ACB=180°-132°=48°，∴∠BCM=180°-84°-48°=48°.
∴BM=BC.又∠ACN=(180°-∠ACB)=(180°-132°)=24°，
∴∠BNC=180°-∠ABC-∠BCN= 180°-12°-(∠ACB+∠CAN)=12°=∠ABC.
∴CN=CB.因此，BM=BC=CN.
5.容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.
设5种商品降价前的价格为a，过了n天，n天后每种商品的价格一定可以表示为a·(1-10%)k ·(1-20%)n-k=a·()k·()n-k，其中k为自然数，且0≤k ≤n，要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：a·()i·()n-i，a·()i+1·()n-i-1，a·()i+2·()n-i-2，a·()i+3·()n-i-3，a·()i+4·()n-i-4.
其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为=()4.
6.∵(x-)(y-)=2008，
∴x-==y+，y-==x+.
由以上两式可得x=y， 所以(x-)2=2008.解得x2=2008.
所以3x2-2y2+3x-3y-2007=3x2-2x2+3x-3x-2007=x2-2007=1.
二、1.∵a2=()2==1-a，∴a2+a=1.
∴原式=
===-=-(1+a+a2)=-(1+1)=-2.
2.设BD中点为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB=，MO==，
∴MB=MO-OB=.又∠ABM=∠NDA=135°，
∠NAD=∠MAN-∠DAB-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB=∠AMB，
所以△ADN∽△MBA，故=，从而DN=·BA=×1=.根据对称性可知，
四边形AMCN的面积S=2S△MAN=2××MN×AO=2××(++)×=.
3.根据题意，m，n是一元二次方程x2+ax+b=0的两根，所以m+n=-a，mn=b.
∵|m|+|n|≤1，∴|m+n|≤|m|+|n|≤1，|m-n|≤|m|+|n|≤1.
∵方程x2+ax+b=0的判别式△=a2-4b≥0，∴b≤=≤.
4b=4mn=(m+n)2-(m-n)2≥1-(m-n)2≥-1，故b≥-，等号当m=-n=时取得；
4b=4mn=(m+n)2-(m-n)2≤1-(m-n)2≤1，故b≤，等号当m=n=时取得.所以p=，q=-，于是|p|+|q|=.
4.12到32，结果都只各占1个数位，共占1×3=3个数位；42到92，结果都只各占2个数位，共占2×6=12个数位；102到312，结果都只各占3个数位，共占3×22=66个数位；322到992，结果都只各占4个数位，共占4×68=272个数位；1002到3162，结果都只各占5个数位，共占5×217=1085个数位；此时还差2008-(3+12+66+272+1085)=570个数位.3172到4112，结果都只各占6个数位，共占6×95=570个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是4112的个位数字，即为1.
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设 ，则 （ ）
A.24. B. 25. C. . D. .
【答】A.
由 ，得 ，故 .所以
.
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ）
A. . B. . C. . D. .
【答】C.
延长CA至D，使AD＝AB，则 ，所以△CBD∽△DAB，所以 ，故 ，所以 .又因为 ，所以 .
3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为 （ ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
【答】C.
由方程得 ，而 ，所以 ，即 ，解得 ，从而 只可能取值 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，没有符合条件的解；
当 时， ，没有符合条件的解；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 .
因此，原方程共有3个解.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ）
A. . B. . C. . D. .
【答】B.
不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：
（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为 ；
（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为 .
所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.
要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.
因此，所求的概率为 .
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝ （ ）
A. . B. . C. . D. .
【答】 D.
设BC的中点为O，连接OE、CE.
因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.
又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此 ，即 .
又CE⊥BE，所以 ，故 CBE＝ .
6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是 （ ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
【答】B.
设 ，则 ，它为完全平方数，不妨设为 （其中 为正整数），则 .
验证易知，只有当 时，上式才可能成立.对应的 值分别为50，20，10，2.
因此，使得 为完全平方数的 共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是____________.
【答】 .
因为 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，所以
解得 .
，
当 时， 取得最小值 .
2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为______.
【答】 .
设△ABC的面积为 ,则因为△ADE∽△ABC，所以 .
又因为△BDF∽△BAC，所以 .
两式相加得 ，即 ，解得 .
所以四边形DECF的面积为 .
3．如果实数 满足条件 ， ，则 ______.
【答】 .
因为 ，所以 .由 可得
，从而 ，解得 .
从而 ，因此 ，即 ，整理得 ，解得 （另一根 舍去）.
把 代入 计算可得 ，所以 .
4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有_____对.
【答】 7.
设 （ 为正整数），则 ，故 为有理数.
令 ，其中 均为正整数且 .从而 ，所以 ，故 ，所以 .
同理可得 （其中 为正整数），则 .
又 ，所以 ，所以 .
（1） 时，有 ，即 ，易求得 或（3,6）或（6,3）.
（2） 时，同理可求得 .
（3） 时，同理可求得 或（1,2）.
（4） 时，同理可求得 .
因此，这样的有序数对 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.
解 （1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .
设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 .
因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). …………………………………10分
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，
即 . …………………………………15分
又 ，所以
，
解得 . …………………………………20分
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 、 分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求 .
解 作 E⊥AB于E， F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， .
又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ，
. …………………………………5分
因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以 ＝ .
…………………………………10分
连接D 、D ，则D 、D 分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，所以 D⊥ D，
. …………………………………15分
同理，可求得 ， . …………………………………20分
所以 ＝ . …………………………………25分
三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法1 将①②两式相乘，得 ，
即 ， ………………………………10分
即 ，
即 ， ………………………………15分
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ， …………………………………20分
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分
证法2 结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③ ………………………10分
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，
即 . …………………………………15分
， …………………………20分
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. ……………………………25分
第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB.
解 因为BN是∠ABC的平分线，所以 .
又因为CH⊥AB，所以
，
因此 . …………………………………10分
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆.
…………………………………15分
又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. …………………………………20分
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.
又AB⊥CH，所以EF‖AB. …………………………………25分
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
解法1 将①②两式相乘，得 ，
即 ， …………… …………………10分
即 ，
即 ， ………………………………15分
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ， …………………………………20分
所以 或 或 ，即 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
……………………………25分
解法2 结合①式，由②式可得 ，
变形，得 ③ ………………………10分
又由①式得 ，即 ，
代入③式，得 ，
即 . …………………………………15分
， …………………………20分
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
……………………………25分
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