数学高中竞赛整除问题求解

Question

问题：26a+10b+c ≡ 0 （mod37） 其中a,b,c可取1到9 这9个数
求a+b+c 的和的所有可能值？

补充：
好像有13个和

且当a=b=c时 有9个

最好用 高中竞赛初等数论 也就是说 可以理解的方法

Answer 1

26a+10b+c≡0(mod37)
等价于11a≡10b+c(mod37)
等价于10（a-b）≡（c-a）（mod37）
等价于10(a-b)=(c-a)+37n 其中n为整数
先估计n的范围
因为(a-b)和(c-a)=-8,-7,...7,8.
37n=10(a-b)+(a-c)属于-88到88。
所以n只能是-2，-2，-1,0，1,2,3。
再分情况讨论：
（1）
n=0时，10（a-b）=(c-a)
再由c-a的范围可知c-a=0
从而a-b=0 所以a=b=c
从而（a,b,c）=(3 3 3)(6,6,6)(9,9,9)(12,12,12)(15,15,15)(18,18,18)(21,21,21)(24,24,24)(27,27,27)
(2)n=1时,
(c-a)+37=10（a-b）
所以c-a=3或-7
然后再经过简单的讨论可得（a,b,c）=(8,5,1)(9,6,2)(5,1,8)(6,2,9)
(3)n=2时，
经过同样的讨论可得：
(a,b,c)=(8,1,4)(9,2,5)
(4)n=-1时，
(a,b,c)=(1,4,8)
(2,5,9)(4,8,1）（5,9,2）
(5)n=-2时，
（a,b,c）=(1,8,5)(2,9,6)
饿 终于写完了
综上 再把a b c 加起来得到
a+b+c=3,6,9,12,15,18,21,24,27,14,17,13,16共13种情况

Answer 2

这就是个凑数问题啊，当a=b=c时可以得出a（26+10+1）=37a 所以a可以从1--9随便取值有9种，在就是凑数了就可以了只要问题是a b只是个10位数的辅助c是个位数的辅助把a从2到9试一遍就出来了很简单的

Answer 3

问下26a 是指 26 * a 还是 26a 三位整数？