这是一个4天后的零回答题。
已知二重积分∫∫(D)x^2dσ,其中 D由y=1-√(1-x^2),x=1以及y=0围成。
（I）请画出D的图形；
（II)在极坐标下将二重积分化为累次积分。
解：
（I)、画D的图形：y=1-√(1-x^2):
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.98 1
y 0 0.005 0.202 0.046 0.0835 0.134 0.2 0.286 0.4 0.564 0.688 0.801 1
画图见附图。
（II)、
因为 x=ρconθ,y=ρsinθ,dσ=ρdρdθ,
D:y=1-√(1-x^2),y=0,x=1,
y 从0到y=1-√(1-x^2),x 从0到1，
变到极坐标时，
ρsinθ=1-√[1-ρ^2(conθ)^2],
√[1-ρ^2(conθ)^2]=1-ρsinθ,
1-ρ^2(conθ)^2=[1-ρsinθ]^2=1-2ρsinθ+ρ^2(sinθ)^2,
ρ^2-2ρsinθ=0,
ρ=0 （舍弃），ρ=2sinθ,
x=1 变到极坐标时，x=ρconθ=1，ρ=1/conθ,
极坐标积分，ρ从ρ=2sinθ积到ρ=1/conθ，θ从0到π/4,
所以，二重积分∫∫(D)x^2dσ=∫∫(D)(ρconθ)^2ρdρdθ=
=∫(从0积到π/4)dθ∫(ρ从ρ=2sinθ积到ρ=1/conθ）[ρ^3(conθ)^2]dρ=
=∫(从0积到π/4)dθ(ρ从ρ=2sinθ积到ρ=1/conθ）[ρ^4(conθ)^2/4]=
=∫(从0积到π/4)[1/(conθ)^2-16(sinθ)^4(conθ)^2]/4dθ=
=∫(从0积到π/4){1/[4(conθ)^2]-4(sinθ)^4(conθ)^2}dθ=
=∫(从0积到π/4){1/[4(conθ)^2]-4(sinθ)^4[1-(sinθ)^2]}dθ=
=∫(从0积到π/4){1/[4(conθ)^2]-4(sinθ)^4+4(sinθ)^6}dθ= 【以下套积分公式】
=(从0积到π/4){(1/4)[tgθ]-4∫(从0积到π/4)(sinθ)^4dθ+(从0积到π/4)(4{-(sinθ)^5conθ/6}+(5/6)∫(从0积到π/4)(sinθ)^4dθ=
=1/4-4{-（√2/8）(√2/2)/6}-(19/6)∫(从0积到π/4)(sinθ)^4dθ=
=1/4+1/12-(19/6)(从0积到π/4){-(sinθ)^3conθ}-(19/6)（3/4）∫(从0积到π/4)(sinθ)^2dθ=
=1/3-（19/6）{-1/4}-（19/8)(从0积到π/4){（1/2）θ-（1/4）sin2θ}=
=1/3+19/24-(19/8){π/8-1/4-0-0}=
=27/24-19π/64+19/32=(216-57π+114)/192=(330-57π)/192.
