高等数学 多元函数微分学 拉格朗日数乘法 题目 建造容积一定的矩形水池 问怎样设计 才能使建筑材

Question

高等数学 多元函数微分学 拉格朗日数乘法
题目 建造容积一定的矩形水池 问怎样设计 才能使建筑材料最省

Answer 1

设矩形水池容积为v，长为a，宽为b，高为c。
则abc=v
表面积为s
则s=2(ab+bc+ca)
设f=2ab+2bc+2ca-kv
f'(a)=2b+2c-kbc=0
f'(b)=2a+2c-kac=0
f'(c)=2a+2b-kab=0
abc=v
所以2ab+2ac-kabc=0
2ab+2bc-kabc=0
2ac+2bc-kabc=0
所以ab=bc=ca
所以a=b=c=v^(1/3)追问

不对 答案a等于b等于立方根号下2v c等2分之1 a

追答

抱歉之前没有考虑水池不用建盖子
设矩形水池容积为v，长为a，宽为b，高为c。
则abc=v
表面积为s
则s=ab+2bc+2ca
设f=ab+2bc+2ca-kv
f'(a)=b+2c-kbc=0
f'(b)=a+2c-kac=0
f'(c)=2a+2b-kab=0
abc=v
所以ab+2ac-kabc=0
ab+2bc-kabc=0
2ac+2bc-kabc=0
所以2ab=bc=ca
所以a=b=c/2
即a=b=(2v)^(1/3),c=(2v)^(1/3)/2