如上图，转子的角动量是它绕自转轴转动的角动量，其方向沿自转轴。
L=Iω
在dt时间内，角动量L的增量dL是很小的，从上图可知。
dL=Lsinθdφ=Iωsinθdφ
式中ω为陀螺自转角速度，dφ是自转轴在dt时间由绕OZ轴转过的角度，
θ为自转轴与OZ轴间的夹角。由角动量定理
dL=Mdt
代入上式得
Mdt=Iωsinθdφ
则进动角速度应是
ωp=dφ/dt=M/(Iωsinθ)
进动角速度与外力矩M成正比，与陀螺的自转角动量I成反比。
在本题中，圆盘转子转动惯量
I=1/2*mr²
到z轴的距离为y，则重力力矩为
M=mg*y
夹角θ=90°，代入可得
ωp=dφ/dt=M/(Iωsinθ)
=2gy/(ωrsinθ)
=2*10*0.1/(100*0.03*sin90°)
=2/3 (kg.m²/s)
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第1个回答 2015-05-15
这是规则进动问题。是刚体定点运动中的一个简单问题。设转子绕y轴的自转角速度为w（方向沿y轴，实际上是沿y轴的负方向），y轴绕z轴的进动角速度为W（方向沿z轴，指向待定，设其正向为z轴正向），转子半径为r，转子质心到原点O的距离为a，为便于表达矢量以后面加（矢）说明。
转子对定点O的动量矩（角动量）Ho(矢)=Jy*w(矢)+Jz*W(矢)
其中Jy=m*r^2/2、Jz分别是转子对y轴、z轴的转动惯量。设作用于转子的外力对定点O的矩为Mo(矢)，则
Mo(矢)=-mga*i(矢)
其中m为转子的质量，i(矢)为x轴的单位矢（Oxyz是右手坐标系）。由赖柴尔（Resal）定理得，
Mo(矢)=W(矢)xHo(矢)= W(矢)x[Jy*w(矢)+Jz*W(矢)]=Jy*W(矢)x w(矢)
把上面的矢量式化成标量式，得
Jy*w*W=-mga
W=-2*g*a/(w*r^2)=-2*9.8*0.1/(100*0.03^2)=-21.8(rad/s)
负号表示进动角速度W(矢)沿z轴负方向。
转子对定点O的动量矩（角动量）Ho(矢)=Jy*w(矢)+Jz*W(矢)
其中Jy=m*r^2/2、Jz分别是转子对y轴、z轴的转动惯量。设作用于转子的外力对定点O的矩为Mo(矢)，则
Mo(矢)=-mga*i(矢)
其中m为转子的质量，i(矢)为x轴的单位矢（Oxyz是右手坐标系）。由赖柴尔（Resal）定理得，
Mo(矢)=W(矢)xHo(矢)= W(矢)x[Jy*w(矢)+Jz*W(矢)]=Jy*W(矢)x w(矢)
把上面的矢量式化成标量式，得
Jy*w*W=-mga
W=-2*g*a/(w*r^2)=-2*9.8*0.1/(100*0.03^2)=-21.8(rad/s)
负号表示进动角速度W(矢)沿z轴负方向。
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