数列求和的常用方法有哪些？利用求和方法过程中，学生那些地方容易出错

Question

如题所述

Answer 1

数列分为等差数列和等比数列两种，
等差数列的求和公式推倒方法是逆序相加，
设等差数列{an}是以公差d，a1为首项的等差数列，
则前n项和Sn=a1+a2+a3+.....+an-1+an(n>=3,n:N*)
比如n=3,1,2,3是首项为1,1为公差的等差数列
逆序相加：从an加到a1,从最右边开始加到最左边，
Sn=an+an-1+.......a2+a1(2)
(1)+(2)

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+（a3+an-2)+.....(ak+a(n+1-k)+.....(an-1+a2)+(an+a1)
a1+an=an+a1
a2+an-1=an-1+a2
a3+an-2=an-2=a3
.....
ak+a(n+1-k)=a(n+1-k)+ak
......

如果n是奇数，a((n+1)/2)=a((n+1)/2),那么合并后的项数是（n+1)/2,
如果n是偶数，则中间有两项：an/2+an/2+1=an/2+1+an/2,合并后的项数是n/2,
奇数
2Sn=2(a1+an)+2(a2+an-1)+2(a3+an-2)+......2a((n+1)/2),
Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+......a((n+1)/2)
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=....ak+a(n+1-k),1<=k<=(n-1）/2,k:N*
Sn=k(a1+an)+a((n+1)/2)=(n-1)/2(a1+an)+a((n+1)/2)
a1+an=a1+a1+(n-1)d=2a1+(n-1)d,
a((n+1)/2)=a1+(（n+1)/2-1)d
2a((n+1)/2)=2a1+（n-1)d=a1+an
Sn=(n-1)/2(a1+an)+(a1+an)/2=(a1+an)/2[n-1+1]=(a1+an)/2xn=n(a1+an)/2
2.n是偶数：2Sn=2(a1+an）+2（a2+an-1)+2(a3+an-2）+......2(an/2+a(n+1)/2),
Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+.........(an/2+a(n+1)/2)
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=........=an/2+a(n+1)/2
Sn=(a1+an)xn/2
两种情况Sn=(a1+an)n/2
所以对于正整数n:N*,n>=3,Sn=n（a1+an)/2
an=a1+(n-1)d
Sn=n(a1+a1+(n-1)d)/2=n(2a1+(n-1)d)/2=na1+n(n-1)d/2
数列的项数最少是3，因为1项构不成数列，2项也构不成数列，1,2.我可以认为是等差数列，d=1,也可以认为是等比数列q=2,有矛盾，但1，2,3，只能是等差数列，d=1,如果是等比数列，a2/a1=2,a3/a2=3/2,a2/a1/=a3/a2,所以不是等比数列，1,2,4.是公比为2的等比数列，如果是等差数列，a2-a1=2-1=1,a3-a2=4-2=2,a2-a1/=a3-a2,所以不是等差数列，
等比数列的前n项和的公式，q/=0,等比数列q=an/an-1,n>=2,n:N*an-1/=0,n>=2,n-1>=2-1=1,n-1>=1,n:N*,n>=2,n:N*是n:N*的真子集，范围比N*小，在N*成立的，对于>=2,n:N*一定成立，an/=0,分子不等于0，分母也不等于0，那么q/=0,若q=0,an=0,an/=0,q/=0,
q=1,Sn=na1,
q/=1,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)